Exercício: determinação do limite de uma fracção irracional

Nesta questão do MSE, Jordan Carlyon perguntou como se determina o seguinte limite:

\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{9+h}-3}{h}.

Na minha resposta disse que começamos por racionalizar o numerador.  Para isso multiplicamos e dividimos  \sqrt{9+h}-3 por \sqrt{9+h}+3. Em geral racionalizar-se-ia \sqrt{a}-b multiplicando e dividindo-o por \sqrt{a}+b.

\begin{aligned}\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{9+h}-3}{h} &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( \sqrt{9+h}-3\right) \left( \sqrt{9+h}+3\right) }{h\left( \sqrt{9+h}+3\right) }\\&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( \sqrt{9+h}\right) ^{2}-3^{2}}{h\left( \sqrt{9+h}+3\right) }\\&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{9+h-9}{h\left( \sqrt{9+h}+3\right) }\\&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{h}{h\left( \sqrt{9+h}+3\right) }\\&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{\sqrt{9+h}+3}\\&=\dfrac{1}{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\sqrt{9+h}+3}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{9}+3}\\&=\dfrac{1}{6}\end{aligned}

Outro método seria a aplicação da regra de L’Hôpital, que pressupõe o cálculo das derivadas do numerador e do denominador.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Exercício: determinação do limite de uma fracção irracional

  1. Diego diz:

    Isso mostra que as coisas podem ser mais simples do que imaginamos ser!

  2. Apesar de estar correcto, não gosto muito que os meus alunos usem a regra de L Hôpital neste tipo de problemas. Esse método tem, nesta situação, alguma redundância.
    A razão é a seguinte, observando que

    \displaystyle\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}=\frac{\sqrt{9+h}-\sqrt{9-0}}{h-0},

    o que se pede é, por definição, a derivada de \displaystyle  f(x)=\sqrt{9+x} em x=0.
    Por isso, das duas, uma:
    Ou se calcula por definição, como o Américo fez.
    Ou se parte do princípio que é conhecida a expressão de \displaystyle\frac {df}{dx} (x)=\frac {1}{2\sqrt{9+x}}, e nesse caso a resposta é directamente \displaystyle\frac {df}{dx} (0)=\frac 16.

    • Exacto. No MSE também é muitas vezes considerada “batota” utilizar a regra de L’Hôpital, porque parece que estes exercícios são para praticar o cálculo de limites antes de se saber o que é uma derivada. Mas aparecem lá muitos exercícios de limites que mais não são do que derivadas, como neste caso.

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