Exercício de cálculo: volume de uma pirâmide triangular

Mats perguntou no MSE a justificação da equação do volume de uma pirâmide com o vértice na origem e a base definida pelos pontos (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c), com a,b,c>0. A minha resposta traduzida foi:

Pirâmide e equações das rectas situadas nos planos y=0 e z=0:

y=0,\qquad\dfrac{x}{a}+\dfrac{z}{c}=1\Leftrightarrow z=\left( 1-\dfrac{x}{a}\right) c,

z=0,\qquad\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{c}=1\Leftrightarrow y=\left( 1-\dfrac{x}{a}\right) b.

A área A(x) da secção a traço interrompido é dada por:

A(x)=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{x}{a}\right) b\left( 1-\dfrac{x}{a}\right) c=\dfrac{bc}{2}\left( 1-\dfrac{x}{a}\right) ^{2},

porque a intersecão do sólido com o plano perpendicular ao eixo dos x em x é um triângulo rectângulo com catetos \left( 1-\dfrac{x}{a}\right) c e \left( 1-\dfrac{x}{a}\right) b. Assim

\begin{aligned}V&=\displaystyle\int_{0}^{a}A(x)\,\mathrm dx\\&=\dfrac{bc}{2}\displaystyle\int_{0}^{a}\left( 1-\dfrac{x}{a}\right)^{2}\,\mathrm dx\\&=\dfrac{bc}{2}\displaystyle\int_{0}^{a}1-\dfrac{2x}{a}+\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\,\mathrm dx\\&=\dfrac{bc}{2}\left(\displaystyle\int_{0}^{a}1\,\mathrm dx-\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{2x}{a}\,\mathrm dx+\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\,\mathrm dx\right)\\&=\dfrac{bc}{2}\left( a-\dfrac{2}{a}\displaystyle\int_{0}^{a}x\,\mathrm dx+\dfrac{1}{a^{2}}\displaystyle\int_{0}^{a}x^{2}\,\mathrm dx\right)\\&=\dfrac{bc}{2}\left( a-\dfrac{2}{a}\dfrac{a^{2}}{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\dfrac{a^{3}}{3}\right)\\&=\dfrac{bc}{2}\left( a-a+\dfrac{a}{3}\right)\\&=\dfrac{abc}{6}\end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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