Aritmética Racional de Aniceto Monteiro e Silva Paulo. Pequeno Teorema de Fermat

 Integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, com edição de 2007 da SPM, adquiri recentemente o segundo volume, Aritmética Racional, fac-simile da edição de 1945 de Livraria Avelar Machado, dos autores Aniceto Monteiro e Silva Paulo.


O objectivo fundamental do seu ensino no liceu era o de «preparar o aluno para prosseguir estudos superiores»(p.IX) e o programa oficial: «Teoria dos números inteiros considerados como representando colecções de objectos idênticos, e das suas operações. Divisibilidade. Números primos. Máximo divisor comum e menor múltiplo comum. Teoria dos números fraccionários e das suas operações.» Dizem os autores: «Para que a Aritmética se possa chamar Racional é indispensável que ela seja apresentada sob a forma duma teoria dedutiva, e para isso é necessário distinguir cuidadosamente as proposições primitivas das proposições demonstráveis».(p. IX)

Ao expor as leis da unicidade, associativa, modular e comutativa da adição e da multiplicação (p.20-21), enquadram-nas nas leis dum Grupóide, conceito da Álgebra Moderna que não aparece no meu livro do liceu, com o mesmo nome, da década de 1960, de J. Jorge Calado.

Como ilustração do método usado transcrevo o enunciado, a demonstração e um exercício de aplicação do teorema de Fermat. (p. 152-154)

« Teorema 13. (De Fermat). Se p fôr primo então a^{p-1}\equiv 1\pmod p.

Dem. Seja a\not\equiv 0 e consideremos os produtos:

(1)\qquad b_1=1\cdot a,b_2=2a,\ldots,b_{p-1}=(p-1)a.

Nenhum produto b_{k}=ka (onde k=1,2,\ldots,p-1) pode verificar a condição ka\equiv 0, porque então seria (§57) k\equiv 0 (o que é impossível por hipótese).

Por outro lado, se i\neq j não pode ser b_{i}\equiv b_{j}, porque se fôsse ia\equiv ja, seria (Teor. 10) i\equiv j. Ora sendo i e j inferiores a p para que a diferença entre i e j seja divisível por p é necessário e suficiente que seja i=j, o que contradiz a hipótese i\neq j. Em resumo os elementos da sucessão (1) são dois a dois incongruentes entre si e nenhum dêles é congruente a 0. Podemos, por isso, afirmar que b_{1},b_{2},\ldots ,b_{p-1} são, respectivamente, congrupentes aos inteiros 1,2,\ldots ,p-1 escritos numa certa ordem. Daqui resulta que:

b_{1},b_{2}\cdots b_{p-1}\equiv 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots (p-1)\quad \pmod p

ou

(1a)(2a)\cdots ((p-1)a)\equiv (p-1)!\pmod p

ou ainda

(p-1)!a^{p-1}\equiv (p-1)!\pmod p

donde, pela lei do Corte:

a^{p-1}\equiv 1\pmod p,

 c. q. d. »

« Exercício 10. Se p fôr um número primo ímpar e se a não fôr divisível por p tem-se: a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 ou a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p.

[ Sugestão: Note que

a^{p-1}-1=(a^{\frac{p-1}{2}}-1)(a^{\frac{p-1}{2}}+1). ]

Aplicação: O cubo dum inteiro não divisível por 7 é um múltiplo de 7 mais ou menos 1 »

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Aritmética Racional de Aniceto Monteiro e Silva Paulo. Pequeno Teorema de Fermat

  1. Quando estudamos pela primeira vez a disciplina Teoria dos Números na Faculdade nos deparamos com este teorema (nós o chamamos de “O Pequeno Teorema de Fermat”) não fazemos idéia de sua importância e aplicabilidade, muitos problemas de álgebra podem ser resolvidos utilizando-se este teorema.

  2. Caro Diego Sousa,

    Convido-o a enviar-me ou a colocar aqui, nos comentários, um problema (interessante) que possa ser resolvido, aplicando este teorema de Fermat. Sobre o seu nome o livro só diz que é de Fermat, em vez de “Pequeno Teorema de Fermat”, como é conhecido, nos nossos dias; mas claro que nada tem a ver com o “Último Teorema de Fermat”.

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