Republicação de Exercício de Probabilidades sobre aniversários de n pessoas

A propósito da questão The probability that 25 people do not have the same birthday de Algific no MSE e da minha resposta republico  este meu post de Julho 2009 sobre o mesmo assunto.

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As magias matemáticas não têm piada quando não se explicam

Nuno Crato, Números Mágicos, Expresso 11.07.09

Integrado no tema Magia da Única do Expresso de 11.07.09 aparece o artigo de Nuno Crato Números Mágicos.

(Aqui na versão online.)

Números mágicos de Nuno Crato, Expresso, 11.07.09

Números mágicos de Nuno Crato, Expresso, 11.07.09

Nuno Crato divide-o em duas magias matemáticas: uma que se explica pela Lei de Benford e a outra a que chama O truque dos aniversários no mesmo dia.

Nuno Crato, O truque dos aniversários no mesmo dia, Expresso, 11.07.09

Nuno Crato, O truque dos aniversários no mesmo dia, Expresso, 11.07.09

Num ano comum, qual a probabilidade de pelo menos duas pessoas escolhidas ao acaso entre n fazerem anos em dias diferentes?

Depois de ler a exposição e explicação de Nuno Crato, as contas que fiz para responder a esta questão foi relacionar a probabilidade P(n) associada a n pessoas com a probabilidade P(n-1) associada a n-1 pessoas:

P(n)=P(n-1)\times\dfrac{366-n}{365}

chegando, por indução, a

P(n)=\dfrac{1}{365^{n-1}}\times \left( 366-2\right) \times \left( 366-3\right) \times\cdots \times\left( 366-n\right) =\dfrac{1}{365^{n-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left( 366-k\right)

Exemplo: 30 pessoas

P(30)=\dfrac{1}{365^{30-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{30}\left( 366-k\right) \approx 0,29368\approx 29,37%

Num ano bissexto, qual a probabilidade de pelo menos duas pessoas escolhidas ao acaso entre n fazerem anos em dias diferentes?

A diferença em relação ao ano comum traduz-se apenas em mais um dia, pelo que

P(n)=\dfrac{1}{366^{n-1}}\times \left( 367-2\right) \times \left( 367-3\right) \times \cdots \times \left( 367-n\right) =\dfrac{1}{366^{n-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left( 367-k\right)

Exemplo: 30 pessoas

P(30)=\dfrac{1}{366^{30-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{30}\left( 367-k\right) \approx 0,29470\approx 29,47%

Logo, a probabilidade dos aniversários de nenhuma das n pessoas escolhidas ao acaso calharem no mesmo dia é

1-P(n)

em que P(n) é dado pelo(s) produto(s) indicado(s) acima. Os dois exemplos anteriores resultam, respectivamente, em

\bar{P}(30)=1-P(30)\approx 100-29,37\%=70,63\%

e

\bar{P}(30)=1-P(30)\approx 100-29,47\%=70,53\%

nos anos comuns e nos bissextos.

Nota de 16.07.09: Pelo princípio das gavetas de Dirichlet, também conhecido pelo das casas dos pombos, se o número de pessoas n>365 (nos anos comuns) ou n>366 (nos anos bissextos), temos a certeza de que pelo menos duas fazem anos no mesmo dia.

Nota de 21.07.09: outras expressões equivalentes são

P(n)=\left\{ \begin{array}{c}\dfrac{364!}{365^{n-1}\left( 365-n\right) !}\qquad\text{se o ano \'{e} comum} \\ \dfrac{365!}{366^{n-1}\left( 366-n\right) !}\qquad \text{se o ano \'{e} bissexto}\end{array}\right.

e

\bar{P}(n)=1-P(n)=\left\{ \begin{array}{c}1-\dfrac{364!}{365^{n-1}\left( 365-n\right) !}\qquad\text{se o ano \'{e} comum} \\ 1-\dfrac{365!}{366^{n-1}\left( 366-n\right) !}\qquad \text{se o ano \'{e} bissexto}\end{array}\right.

Atendendo a que \Gamma (n+1)=n!, obtemos para os anos comuns,

\bar{P}(x)=1-P(x)=1-\dfrac{\Gamma \left( 365\right) }{365^{x-1}\Gamma \left( 366-x\right) }

cujo representação gráfica é

Probabilidade de duas pessoas pelo menos fazerem aniversários no mesmo dia em função do número de pessoas

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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