Mínimo múltiplo e máximo divisor comuns de dois ou mais racionais

Nesta questão no MSE peakit pergunta como se deduzem duas propriedades do mínimo e do máximo múltiplo comum dos números racionais, que passo a expor, na forma que dei à minha resposta.

Admitamos que se têm duas fracções reduzidas \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}. Sejam

\begin{aligned}a&=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(a)},\qquad b=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(b)}, \\c&=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(c)},\qquad d=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(d)}.\end{aligned}

as  factorizações em números primos  dos inteiros a,b,c e d. Então a fracção

\dfrac{\displaystyle\underset{i}{\prod }\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{\displaystyle\underset{i}{\prod }\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}

é um múltiplo comum a \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}; é o mínimo pelas propriedades de \text{mmc} and \text{mdc} de dois inteiros;  \prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) } é o mínimo múltiplo comum dos numeradores e \prod_{i}\ p_{i}^{\min \left(  e_{i}(b),e_{i}(d)\right) } é o máximo divisor comum dos denominadores. Assim

\begin{aligned}\text{mmc}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) &=&\text{mmc}\left( \dfrac{{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(a)}}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(b)}},\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(c)}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(d)}}\right)=\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{\prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}=\dfrac{\text{mmc}(a,c)}{\text{mdc} (b,d)}.\quad(1)\end{aligned}

De forma semelhante

\begin{aligned}\text{mdc}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) &=&\text{mdc}\left( \dfrac{{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(a)}}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(b)}},\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(c)}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(d)}}\right)=\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{\prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}=\dfrac{\text{mdc}(a,c)}{\text{mmc} (b,d)}.\quad(2)\end{aligned}

Aplicando repetidamentes esta relações generalizamos este resultado a um número finito de fracções.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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