500 mil

O total de visitas registadas pelo contador WordPress, iniciado em 8 Outubro de 2007, atingiu as

500\ 000

Problema (série): Determine um majorante do erro \varepsilon cometido ao aproximar a série

\eta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}

pela sua soma parcial

S_{500000}=\displaystyle\sum_{k=1}^{500000}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}.

Calcule com a mesma aproximação \zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}.

Problema (computação) : Qual o número primo p_{500000}?

Comentário: As demonstrações de Pierre Dusart e de Eric Bach e Jeffrey Shallit (Wikipedia) estabelecem que para n\ge 6 se verifica a dupla desigualdade

n \ln n+n(\ln\ln n - 1)<p_n<n\ln n+n\ln \ln n

Daqui até ao resultado vai o passo que está relacionado com o andamento da função contagem dos números primos \pi(x), que dá o número de primos menores ou iguais a x. O teorema dos números primos diz-nos que o seu comportamento assimptótico é

\pi (x)\sim \dfrac{x}{\ln x}

A função  primes(N), em Python, no ambiente IDLE 2.6.4,  gera duas listas de números para calcular e apresentar os números primos até N.

>>> def primes(N):

$x, y = [0]*(N+2), [0]*(N+1)

x[1], p = 1, 2

x_p = 1

while p <= N:

…… . … print p,

…. .. … for m in range(1,N/p+1):

…. . ….. . if x[m] != 0:

…. . ….. . . x[m*p] = x[m] * x_p

. …… . while x[p] != 0:

. . …. … y[p] = y[p-1] + x[p]

. . …… . p += 1

Por exemplo, até N=1000:

>>> primes(1000)


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59  61

. . .

883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Foi com ela que determinei que o 1.º primo a seguir a 200 000 é o 200 003.

Se se incluir um contador a seguir a print p, poderá obter-se \pi(x). Mas este algoritmo está longe de ser eficiente e com os meus meios demoraria tanto que nem me atrevo a começar.

Exemplo de um problema de geometria (publicado no Caderno) e em Dodecaedro: o comprimento da aresta (cerca de 2 000 visitas).

Determine o lado l de cada um dos doze pentágonos regulares deste sólido platónico, sabendo que dois vértices simétricos em relação ao centro do dodecaedro, distam entre si d metros.

dodecaedro32d.jpgCuriosidade: segundo a WordPress «O Museu do Louvre é visitado por 8,5 milhões de pessoas todos os anos», o que significaria que o meio milhão de visitantes do problemas | teoremas

 3djpeg.jpg necessitaria de  21 dias a verem a exposição no Louvre.

200 000 hits em 26.07.09

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Períodos mais movimentados

  • dia: 22-6-2009, com 1 095
  • mês: Maio 2011, com 19 648 (20 087 em Junho 2011)
  • semana: 25 de 2011, com 5 321

e alguns parciais

  • 8.10.07: início
  • 22.02.09: 123 456
  • 26.07.09: 200 000
  • 12.12.09: 250 000
  • 5.05.10: 300 000
  • 12.09.10: 350 000
  • 13.12.10: 400 000
  • 10.04.11: 450 000

Termino com o cabeçalho, que foi recortado da antepenúltima figura; as suas equações paramétricas são:

x = s\sin s\cos t

y = s\cos s\cos t

z = s\sin t,

com 0\le s\le 2\pi e 0\le t\le\pi. Nesta representam-se os três eixos coordenados

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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