Filipe Oliveira — Divergência da série harmónica

Por considerar que merece o devido destaque, transcrevo a prova que o Professor Filipe Oliveira fez o favor de deixar neste seu comentário, em alternativa à que propuz nesta entrada sobre os números harmónicos. Apenas alterei o formato para melhor facilidade de leitura.

« Caro Américo, a prova que propõe da divergência da série harmónica é de facto a prova clássica. Deixo-lhe uma prova alternativa que montei para os alunos que têm algumas dificuldades com o argumento de “somação por pacotes” apresentado.

Temos

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x-0}=1,

uma vez que este limite é, por definição, a derivada da função f(x)=\ln(1+x) no ponto x=0: f'(x)=\dfrac {1}{1+x}; f'(0)=1.

Assim,

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac {1}{n}}=1>0

pelo que as séries \displaystyle\sum\dfrac{1}{n} e \displaystyle\sum\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right) são de mesma natureza.

Mas

\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln(n).

Assim,

\displaystyle\sum_{n=1}^N\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1).

Finalmente,

\displaystyle\lim_{N\to\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^N\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=+\infty.

Esta série é divergente pelo que o é também a série harmónica. »

O método de cálculo do limite de uma fracção pode simplificar-se bastante, nos casos que se podem reduzir ao de uma derivada, como se vê acima.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Filipe Oliveira — Divergência da série harmónica

  1. Elegante a demonstração da divergência da série harmônica que o Prof. Filipe compartilha conosco. Isso mostra que a Matemática é infinita e sempre tem algo a nos apresentar. Parabéns também ao Américo por compatilhar esta preciosidade.

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