Indicar se os seguintes integrais são convergentes ou não e, sendo-o, determiná-los:
a)
b)
c)
(desta questão de mary no MSE)
Minha resolução (tradução):
a) O integrando tem uma singularidade em
. O integral impróprio de segunda espécie
é, por definição, o limite
Utiliza-se habitualmente a integração por partes para calcular o integral :
em que foi determinado pela regra de l’Hôpital:
b) O integral é divergente para
, como se pode ver, calculando-o. Aplicamos o critério do limite a
e
:
Tanto como
são funções não negativas em
.
Dado que é divergente, tambem o é
.
c) O integral impróprio é de primeira espécie, visto que o integrando não tem singularidades. Por definição, um tal integral é o limite
Visto que , tem-se: