Três exercícios sobre integrais impróprios (de Mathematics Stack Exchange)

Indicar se os seguintes integrais são convergentes ou não e, sendo-o, determiná-los:

a)

\displaystyle\int_0^1 \log x\mathrm dx

b)

\displaystyle\int_2^\infty\dfrac{\log x}{x}\mathrm dx

c)

\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm dx

(desta questão de mary no MSE)

Minha resolução (tradução):

a) O integrando \log x tem uma singularidade em x=0. O integral impróprio de segunda espécie I=\int_{0}^{1}\log x\;\mathrm{d}x é, por definição,  o limite

\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\displaystyle\int_{\varepsilon }^{1}\log x\;\mathrm{d}x.

Utiliza-se habitualmente a integração por partes para calcular o integral \displaystyle\int \log x\;\mathrm{d}x:

\begin{aligned}I&=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\displaystyle\int_{\varepsilon }^{1}\log x\;\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}1\cdot\log x\;\mathrm{d}x\\&=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[ x\log x\right] _{\varepsilon}^{1}-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\displaystyle\int_{\varepsilon }^{1}x\cdot \dfrac{1}{x}\;\mathrm{d}x\\&=1\cdot \log 1-\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\varepsilon \log\varepsilon -1=-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\varepsilon \log \varepsilon -1=-1,\end{aligned}

em que \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\varepsilon \log \varepsilon foi determinado pela regra de l’Hôpital:

\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\varepsilon \log \varepsilon=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\dfrac{\log \varepsilon }{\dfrac{1}{\varepsilon }}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\dfrac{\dfrac{1}{\varepsilon }}{-\dfrac{1}{\varepsilon ^{2}}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}-\varepsilon =0.

b) O integral \displaystyle\int_{a}^{+\infty }\dfrac{1}{x^{p}}\;\mathrm{d}x é divergente para a>0,p\leq 1, como se pode ver, calculando-o. Aplicamos o critério do limite a  f(x)=\dfrac{\log x}{x} e g(x)=\dfrac{1}{x}:

\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\log x}{x}\cdot x=\log x\rightarrow \infty,\qquad\text{ quando } x\rightarrow \infty.

Tanto f(x) como g(x) são funções não negativas em  [2,+\infty \lbrack.

Dado que \displaystyle\int_{2}^{\infty }g(x)\;\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{2}^{\infty }\dfrac{1}{x}\;\mathrm{d}x é  divergente, tambem o é \displaystyle\int_{2}^{\infty }f(x)\;\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{2}^{\infty }\dfrac{\log x}{x}\;\mathrm{d}x.

c) O integral impróprio I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{1+x^{2}}\;\mathrm{d}x é de primeira espécie, visto que o integrando não tem singularidades. Por definição, um tal integral é o limite

\lim_{b\rightarrow +\infty }\displaystyle\int_{0}^{b}\frac{1}{1+x^{2}}\;\mathrm{d}x.

Visto que \displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^{2}}\;\mathrm{d}x=\arctan x, tem-se:

\begin{aligned}I&=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{0}^{b}\dfrac{1}{1+x^{2}}\;\mathrm{d}x  =\lim_{b\rightarrow +\infty }\left[ \arctan x\right] _{0}^{b} \\  &=\lim_{b\rightarrow +\infty }\arctan b-\arctan 0 =\dfrac{\pi }{2}-0=\dfrac{\pi }{2}.\end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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