Problema de trigonometria — resolução de uma equação

Problema: Sabendo que

\sin x + \cos x = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}

determinar \tan x + \cot x.

(desta questão de Vizualni no Mathematics Stack Exchange)

Minha resolução (tradução):

Dado que  a equação é linear em \sin x e \cos x pode  transformar-se numa quadrática:

\sin x+\cos x=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}}+\dfrac{1-\tan ^{2}\dfrac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}

\Leftrightarrow 2\tan \dfrac{x}{2}+1-\tan ^{2}\dfrac{x}{2}=\left( 1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}\right) \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.

Ponha-se y=\tan \dfrac{x}{2}

2y+1-y^{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}y^{2}\Leftrightarrow \left( 1+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right) y^{2}-2y-1+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}=0

e resolva-se em ordem a y

y_{1}=\dfrac{1}{3}\sqrt{3},y_{2}=2-\sqrt{3}

Assim

x_{1}=2\arctan \dfrac{1}{3}\sqrt{3}=\dfrac{1}{3}\pi

ou

x_{2}=2\arctan \left( 2-\sqrt{3}\right) =\dfrac{1}{6}\pi .

Finalmente obtém-se

\tan \dfrac{1}{3}\pi +\cot \dfrac{1}{3}\pi =\dfrac{4}{3}\sqrt{3}

ou

\tan \dfrac{1}{6}\pi +\cot \dfrac{1}{6}\pi =\dfrac{4}{3}\sqrt{3}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Problema de trigonometria — resolução de uma equação

  1. Um outro modo de resolver este problema é o seguinte:

    tan x + cot x = sinx/cosx + cosx/sinx = 1/(sinxcosx) (1)

    De sin x + cosx = (sqrt(3) + 1)/2 segue que

    (sinx + cosx)^2 = (3 + 2sqrt(3) + 1)/4 => sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x = 1 + sqrt(3)/2 =>

    sinxcosx = sqrt(3)/4 (2)

    Substituindo (2) em (1), temos tanx + cotx = 4sqrt(3)/3

    Se quiser passe para o latex.

    [Conversão para LaTeX:

    «Um outro modo de resolver este problema é o seguinte:

    \tan x+\cot x=\sin x/\cos x+\cos x/\sin x=1/(\sin x\cos x)\quad(1)

    De \sin x +\cos x=(\sqrt{3}+1)/2 segue que

    (\sin x+\cos x)^2=(3+2\sqrt{3}+1)/4\Rightarrow\sin^2 x+2\sin x \cos x +\cos^2 x = 1 + \sqrt{3}/2 \Rightarrow

    \sin x\cos x=\sqrt{3}/4\quad(2)

    Substituindo (2) em (1), temos \tan x+\cot x=4\sqrt{3}/3»] AT

    • Caro Prof. Paulo Sérgio

      A sua resolução é extremamente directa. Na altura em que respondi no Mathematics Stack Exchange já havia outras na mesma linha ou parecidas. Tive de enquadrá-la num método mais geral que apresentara antes.

      Sugestão: visite o MSE e veja se lhe interessa criar uma conta.

      Um abraço!

  2. diz:

    basta ter um pouco de paciência e pestar muita atenção….

  3. Cristiane diz:

    Considere um triângulo ABC com baricentro G. A razão entre as áreas do triângulo ABC e GBC é:
    A) 1
    B) 2
    C) 3
    D) 2.5
    E) 4
    Gostaria de saber a solução por se tratar de uma questão de concurso
    Obrigada desde já.
    Att.
    Cristiane

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