A função eta de Dirichlet e o prolongamento analítico da função zeta

Para valores reais x\in]1,\infty[ a função zeta pode exprimir-se na forma (ver nota)

\zeta (x):=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k^{x}}=\dfrac{1}{1-2^{1-x}}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^{x}},

em que a última série é a função  eta de Dirichlet \eta (x). Dado que para x>0 esta série alterna é convergente (porque 1/k^x\to 0), e 1-2^{1-x}\neq 0 para x\in]0,1[\cup]1,\infty[, a função \zeta (x) pode ser prolongada analiticamente ao intervalo x\in]0,1[\cup]1,\infty[ (note-se que x=1 está também excluído da primeira série) pela função

\dfrac{1}{1-2^{1-x}}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}.

Para x=1/2 obtemos \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^{1/2}}\approx 0.6049 e

\zeta (1/2)=-\left( 1+\sqrt{2}\right) \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^{1/2}}\approx -1.4604.

Nota: Dedução

\begin{aligned}  \zeta (x) &=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k^{x}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}+2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2k\right) ^{x}}\\  &=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}+2^{1-x}\zeta (x).\end{aligned}

donde decorre a relação indicada.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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