Visualização da convergência de uma série geométrica complexa

Este post é essencialmente uma adaptação e interpretação do problema A Converging Rabbit  do blogue Rambling Thoughts  de Moor Xu, do qual obtive a devida permissão.

     

Considere-se uma linha quebrada que parte da origem (0,0) e que é constituída por uma sucessão de segmentos de recta cujos comprimentos formam uma sucessão geométrica de razão r<1 e 1.º termo igual a 1. Os ângulos entre os sucessivos segmentos e o semi-eixo positivo Ox formam uma sucessão aritmética de razão igual a \pi /2 e 1.º termo igual a 0, como ilustrado na figura, para r=3/4.

Como determinar as coordenadas do ponto P(x,y) de convergência dos segmentos de recta?

Um dos processos será considerar a série geométrica complexa de razão re^{i\pi /2}=ri e primeiro termo 1:

S(r,\pi /2)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\left( ri\right) ^{n}=\dfrac{1}{1-ri}=\dfrac{1}{1+r^{2}}+\dfrac{r}{1+r^{2}}i

O ponto de convergência é então P(1/(1+r^{2}),/(1+r^{2})). A série é convergente porque \left\vert ri\right\vert =r<1, o que justifica o cálculo anterior. Para o caso da figura tem-se S(3/4,\pi/2)=\dfrac{16}{25}+\dfrac{12}{25}i.

Se o ângulo de rotação de um segmento em relação ao anterior for \alpha , o termo geral da série passa a ser \left(re^{i\alpha }\right) ^{n}=r^{n}e^{in\alpha }, logo \left\vert\left(re^{i\alpha }\right) ^{n}\right\vert =r^{n}, r<1, pelo que a sua soma se generaliza a:

\begin{aligned}S(r,\alpha )&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\left( re^{i\alpha }\right) ^{n}=\dfrac{1}{1-re^{i\alpha }}\\&=\dfrac{1-r\cos \alpha }{\left( 1-r\cos \alpha \right) ^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha }+r\dfrac{\sin \alpha }{\left( 1-r\cos \alpha \right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\alpha }i\end{aligned}

Por exemplo, S(1/2,\pi /3)=1+\dfrac{1}{3}\sqrt{3}i, que corresponde à situação do problema A Converging Rabbit, onde se deve determinar como solução \left\vert 1+\dfrac{1}{3}\sqrt{3}i\right\vert =\dfrac{2}{3}\sqrt{3}.

Alternativamente este problema admite uma resolução puramente geométrica. Retomo a série da 1.ª figura.

A linha azul que começa em Q(1,0) e converge para P é uma redução de 3/4 da linha que parte de O, passa por Q e converge para o mesmo P, seguida de uma rotação de \pi /2 no sentido contrário ao do ponteiro do relógio, além de uma translacção. Por este motivo, o triângulo [O,P,Q] é rectângulo em P e o cateto PQ=\dfrac{3}{4}OP. Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos OP^{2}+\dfrac{9}{16}OP^{2}=1, donde OP=\dfrac{4}{5} e PQ=\dfrac{3}{5}. A altura h do triângulo baixada de P pode obter-se igualando a área calculada tomando como base a hipotenusa ou um dos catetos: \dfrac{h}{2}=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{2}, isto é h=\dfrac{12}{25}. A distância d entre O e a pé da altura é tal que d^{2}+h^{2}=OP^{2}, o que dá d=\dfrac{16}{25}, obtendo-se P(x,y)=P(d,h)=P\left(\dfrac{16}{25},\dfrac{12}{25}\right), como atrás.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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