Desenho trigonométrico representativo de uma expressão linear no seno e na tangente de ângulos diferentes

No artigo An Elementary Trigonometric Equation de Victor Moll [1] é estudada a equação

\tan a+B\sin b=C,

a partir da qual são demonstradas várias expressões trigonométricas. Duas, com C=\sqrt{11}  [1, Theorem 3.1] já apareceram em duas questões no MSE, uma nesta  e estoutra

\tan\left(\dfrac{\pi}{11}\right)+4\sin\left(\dfrac{3\pi}{11}\right)=\sqrt{11}

em “Is there an interpretation for this trigonometric identity?“.

O seguinte desenho, que apresentei como resposta, é uma contrução trigonométrica directa.

O raio do sector circular é 1. As medidas dos ângulos ao centro e o comprimento dos segmentos dos segmentos de recta são:

1. Ângulo menor: \pi/11 rad.
2. Ângulo maior: 3\pi/11 rad.
3. Segmento vermelho escuro: \sqrt{11}.
4. Segmento vertical preto: 4\sin(3\pi/11).
5. Segmento vertical vermelho claro: \tan(3\pi/11).

O segmento de recta vermelho escuro é a hipotenusa do triângulo rectângulo cujos catetos são os segmentos de recta de comprimento \sqrt{10} e do segmento unitário que lhe é perpendicular. O segmento de comprimento \sqrt{10} é a hipotenusa do triângulo rectângulo cujos catetos são os segmentos de recta horizontal de comprimento igual a 3 e o vertical de comprimento 1.

O ângulo \pi/11=2\pi/22 não pode construir-se com régua e compasso (Wikipedia, Constructible polygon ), pelo que a figura é uma construção impossível apenas com régua e compasso.

[2-5-2011, alterado título e completado último parágrafo]

[1] MOLL, Victor, An Elementary Trigonometric Equation (arXiv 24 Sep 2007)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Identidade matemática, Matemática, Trigonometria com as etiquetas . ligação permanente.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s