Determinação dos valores da função zeta nos pares através de uma série de Fourier

Para obter valores de \zeta(2p), como exercício de Cálculo, retomo a integração por partes da entrada Relações de recorrência geradas pela integração por partes, em particular a última relação de recorrência que vou justificar. Considero a função par  f(x)=x^{2p} no intervalo \left[ -\pi ,\pi \right] e vou determinar a sua série trigonométrica de Fourier. Como é sabido esta série converge para uma função periódica, que é a repetição de f(x) em todo o eixo real (ver figura).

x^{2p}\sim\dfrac{a_{0,2p}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n,2p}\cos nx+b_{n,2p}\sin nx\right)

em que os coeficientes a_{n,2p} são dados pelas expressões

a_{0,2p}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }x^{2p}\;\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi }\dfrac{2\pi ^{2p+1}}{2p+1}=\dfrac{2\pi ^{2p}}{2p+1}

a_{n,2p}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x=\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x\qquad n\geq 1

e os coeficientes b_{n,2p} são nulos, em virtude de f(x)\sin nx=x^{2n}\sin nx ser uma função ímpar:

b_{n,2p}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }x^{2p}\sin nx\;\mathrm{d}x=0\qquad n\geq 1

Assim, teremos

x^{2p}=\dfrac{\pi ^{2p}}{2p+1}+\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\cos  nx\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x

e para f(\pi )=\pi ^{2p}

\begin{aligned}\pi ^{2p} &=\dfrac{\pi ^{2p}}{2p+1}+\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x \\ &=\dfrac{\pi ^{2p}}{2p+1}+\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi \cdot I_{n,2p}\end{aligned}

em que I_{n,2p} é  o integral

I_{n,2p}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x

Para o integrar, por partes, escolho f(x)=x^{2p} e g^{\prime }(x)=\cos nx, pelo que f^{\prime }(x)=2px^{2p-1} e g(x)=\dfrac{1}{n}\sin nx; resulta

\begin{aligned}\displaystyle\int f(x)g^{\prime }(x)\;\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime }(x)g(x)\;\mathrm{d}x\\\displaystyle\int x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x&=\dfrac{1}{n}x^{2p}\sin nx-\dfrac{2p}{n}\displaystyle\int x^{2p-1}\sin nx\;\mathrm{d}x\end{aligned}

Integrando novamente por partes, com f(x)=x^{2p-1} e g^{\prime }(x)=\sin nx, sendo, portanto, f^{\prime }(x)=\left( 2p-1\right) x^{2\left( p-1\right) } e g(x)=\int\sin \left( nx\right) dx=-\dfrac{\cos nx}{n}, vem

\begin{aligned}\displaystyle\int f(x)g^{\prime }(x)\;\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime }(x)g(x)\;\mathrm{d}x \\\displaystyle\int x^{2p-1}\sin nx\;\mathrm{d}x &=-\dfrac{1}{n}x^{2p-1}\cos nx+\dfrac{2p-1}{n}\displaystyle\int x^{2\left( p-1\right) }\cos nx\;\mathrm{d}x\end{aligned}

e, por isso,

\displaystyle\int x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x=\dfrac{1}{n}x^{2p}\sin nx-\dfrac{2p}{n}\displaystyle\int x^{2p-1}\sin nx\;\mathrm{d}x

\begin{aligned}&=\dfrac{1}{n}x^{2p}\sin nx-\dfrac{2p}{n}\left( -\dfrac{1}{n}x^{2p-1}\cos nx+\dfrac{2p-1}{n}\displaystyle\int x^{2\left( p-1\right) }\cos nx\;\mathrm{d}x\right) \\&=\dfrac{1}{n}x^{2p}\sin nx+\dfrac{2p}{n^{2}}x^{2p-1}\cos nx-\dfrac{2p\left( 2p-1\right) }{n^{2}}\displaystyle\int x^{2\left( p-1\right) }\cos nx\;\mathrm{d}x\end{aligned}

donde

\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x=\dfrac{2p}{n^{2}}\pi ^{2p-1}\cos n\pi -\dfrac{2p\left( 2p-1\right) }{n^{2}}\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2\left( p-1\right) }\cos nx\;\mathrm{d}x

Ou seja, vemos que I_{n,2p} verifica a relação de recorrência

I_{n,2p}=\dfrac{2p}{n^{2}}\pi ^{2p-1}\cos n\pi -\dfrac{2p\left( 2p-1\right) }{n^{2}}I_{n,2\left( p-1\right) }\qquad I_{n,0}=0\qquad(\ast)

que deixei como exercício na entrada referida.

Para p=1, como

I_{n,2}=\dfrac{2}{n^{2}}\pi \cos n\pi

temos

\begin{aligned}\pi ^{2} &=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi\cdot I_{n,2} \\&=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi \left(\dfrac{2}{n^{2}}\pi \cos n\pi \right) \\  &=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}  \end{aligned}

donde

\zeta (2)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{1}{6}\pi ^{2}

e para p=2, atendendo a que

\begin{aligned}I_{n,4} &=\dfrac{4}{n^{2}}\pi ^{3}\cos n\pi -\dfrac{12}{n^{2}}I_{n,2} \\&=\left( \dfrac{4}{n^{2}}\pi ^{3}-\dfrac{24\pi }{n^{4}}\right) \cos n\pi\end{aligned}

vem

\begin{aligned}\pi ^{4} &=\dfrac{\pi ^{4}}{5}+\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi\cdot I_{4} \\&=\dfrac{\pi ^{4}}{5}+\dfrac{4\pi ^{4}}{3}-48\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}\end{aligned}

pelo que

\zeta (4)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}=\dfrac{1}{90}\pi ^{4}

Da mesma forma obteríamos

\begin{aligned}I_{n,6} &=\dfrac{6}{n^{2}}\pi ^{5}\cos n\pi -\dfrac{30}{n^{2}}\left( \dfrac{4}{n^{2}}\pi ^{3}-\dfrac{24\pi }{n^{4}}\right) \cos n\pi \\&=\left( \frac{6}{n^{2}}\pi ^{5}-\dfrac{120}{n^{4}}\pi ^{3}+\dfrac{720\pi }{n^{6}}\right) \cos n\pi  \end{aligned}

e

\pi ^{6}=\dfrac{\pi ^{6}}{7}+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( \dfrac{6}{n^{2}}\pi^{4}-\dfrac{120}{n^{4}}\pi ^{2}+\dfrac{720}{n^{6}}\right)

donde, substituindo os resultados já calculados de \zeta (2) e \zeta  (4)

\zeta (6)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{6}}=\dfrac{1}{945}\pi ^{6}

E, em geral, poderíamos determinar \zeta (2p) através da relação de recorrência de I_{n,2p}, o que se traduz em ir calculando
sucessivamente I_{n,2},I_{n,4},\ldots ,I_{n,2p-2} e \zeta (2),\zeta (4),\ldots,\zeta (2p-2).

Exemplo gráfico para 2p=6

Figura: Função periódica definida em \left[ -\pi ,\pi \right] por f(x)=x^{6} (a azul) e a soma parcial dos primeiros 10 termos do seu desenvolvimento em série de Fourier (a vermelho)

\dfrac{\pi ^{6}}{7}+\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\sum_{n}^{}\left( \left( \dfrac{6}{n^{2}}\pi ^{5}-\dfrac{120}{n^{4}}\pi ^{3}+\dfrac{720\pi }{n^{6}}\right)\cos n\pi \right) \cos nx

Pondo q=2p, obtemos

\begin{aligned}\pi ^{q} &=\dfrac{\pi ^{q}}{q+1}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{2}{\pi }x^{q}\cos nx\;\mathrm{d}x \\  &=\frac{\pi ^{q}}{q+1}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n,q}\cos n\pi \qquad (q\text{  par})\end{aligned}

ou então, na forma,

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n,q}\cos n\pi =\dfrac{q}{q+1}\pi ^{q}\qquad (q\text{ par})

em que

a_{n,q}=\dfrac{2}{\pi }I_{n,q}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{2}{\pi }x^{q}\cos nx\;\mathrm{d}x\qquad (q\text{ par})

cumpre a condição, para q par

a_{n,q}=\dfrac{2}{\pi }I_{n,q}=\dfrac{2q}{n^{2}}\pi ^{q-2}\cos n\pi -\dfrac{q\left( q-1\right) }{n^{2}}a_{n,q-2}\qquad a_{n,0}=0\quad(\ast\ast)

Os primeiros termos de a_{n,q} são

\begin{aligned}a_{n,2}&=\left( 4/n^{2}\right) \cos n\pi \\a_{n,4} &=\left( 8\pi^{2}/n^{2}-48/n^{4}\right)\cos n\pi\\a_{n,6}&=\left( 12\pi ^{4}/n^{2}-240\pi^{2}/n^{4}+1440/n^{6}\right)\cos n\pi\\a_{n,8}&=\left( 16\pi ^{6}/n^{2}-672\pi^{4}/n^{4}+13\,440\pi^{2}/n^{6}-80\,640/n^{8}\right)\cos n\pi\end{aligned}

e os da função zeta para valores pares do argumento

\begin{aligned}\zeta (2)/\pi ^{2} &=1/6\qquad \quad \zeta (4)/\pi ^{4}=1/90 \\  \zeta (6)/\pi ^{6} &=1/945\qquad \zeta (8)/\pi ^{8}=1/9450\end{aligned}

A interdependência dos vários \zeta (q), com q par, e a série S_{q}=\sum a_{n,q}\cos n\pi =q\pi ^{q}/\left( q+1\right) , resultante do método de cálculo, é ilustrada por

\begin{aligned}S_{2}&=4\zeta (2)\\S_{4}&=8\left[\pi ^{2}\zeta (2)-6\zeta (4)\right]\\S_{6} &=12\left[ \pi ^{4}\zeta (2)-20\pi ^{2}\zeta (4)+120\zeta (6)\right]\\S_{8} &=16\left[ \pi ^{6}\zeta (2)-42\pi ^{4}\zeta (4)+840\pi ^{2}\zeta(6)-5040\zeta (8)\right]\end{aligned}.

Contudo, não consegui obter uma relação recorrência satisfeita directamente por \zeta (q), muito menos uma fórmula explícita. Mas uma tal fórmula explícita existe e é bem conhecida [1],

\zeta(2p)=(-1)^{p+1}\dfrac{B_{2p}(2\pi)^{2p}}{2(2p)!}

estabelece a relação com os números de Bernoulli B_{p} de ordem par, que podem definir-se pelos coeficientes da série de potências

\dfrac{x}{e^{x}-1}=\displaystyle\sum_{p=0}^{\infty }\dfrac{B_px^{p}}{p!}

ou de forma implícita pela relação de recorrência [2]

\displaystyle\sum_{k=0}^{p}\dbinom{p+1}{k}B_{p}=0,\qquad B_{0}=1.

Quanto à relação de recorrência associada aos valores pares de \zeta(p), Eric Rowland publicou uma, há alguns anos, na web, obtida a partir da integração repetida da parte imaginária do desenvolvimento em série de Taylor de \ln(1-e^{ix}), na vizinhança de x=0.

[28-5-2011, Alterada notação: I_{n,2p} em vez de I_{p} e a_{n,2p},b_{n,2p} em vez de a_{n},b_{n}]

[29-5-2011, Acrescentada relação de recorrência dos números de Bernoulli.]

Bibliografia consultada

[1] EDWARDS, H. M., Rieman’s Zeta Function, Dover Publications, New York, 1974

[2] ANDRÉ, Carlos e FERREIRA, Fernando, Matemática Finita, Universidade Aberta, nº 203, Lisboa, 2000

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