Exemplo de convergência uniforme de uma sucessão dupla

Publicado em 24 de Maio de 2011 por

Na secção 4 deste artigo de Alf van der Poorten, sobre a demonstração da irracionalidade de \zeta(3) por Roger Apéry, aparece o seguinte termo geral

e_{n,k}=\displaystyle\sum_{m=1}^{k}\dfrac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\dbinom{n}{m}\dbinom{n+m}{m}},\quad (1\leq k\leq n).

de uma sucessão dupla que converge uniformente no índice k. Para o provar é necessário mostrar que, quando n tende para infinito, a aproximação ao limite, que neste caso é igual a zero, é independente de k. Apresentei, no MSE, como demonstração, o seguinte argumento, que se baseia na definição de limite. A parte mais importante é obter um minorante do denominador. Este assunto já foi abordado por mim, neste blogue, nestas notas de cálculo (pontos 5 e 6).

Seja u_{n,m}=m^{3}\dbinom{n}{m}\dbinom{n+m}{m}. Se 1=m\leq n, então u_{n,m}=n\left( n+1\right). Para mostrar que u_{n,m}>n(n+1) para 1<m\leq n consideramos os dois casos seguintes:

  •  se 1<m=n, então u_{n,m}=n^{3}\dbinom{2n}{n}>n(n+1);
  • se 1<m\leq n-1, então m^{3}\dbinom{n}{m}\geq m^{3}\dbinom{n}{1}=m^{3}n>n e \dbinom{n+m}{m}\geq \dbinom{n+m}{1}=n+m>n+1. Logo u_{n,m}>n(n+1).

Assim, para 1<k\leq n, obtemos:

\begin{aligned}\left\vert e_{n,k}\right\vert &=\left\vert\displaystyle\sum_{m=1}^{k}\dfrac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\dbinom{n}{m}\dbinom{n+m}{m}}\right\vert \leq\displaystyle\sum_{m=1}^{k}\left\vert\dfrac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\dbinom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\right\vert\\&\leq\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\dfrac{1}{2m^{3}\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}<\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\dfrac{1}{2n(n+1)}=\dfrac{n}{2n(n+1)}<\dfrac{1}{n}.\end{aligned}

Para k=1, vem \left\vert e_{n,1}\right\vert =\dfrac{1}{2n\left( n+1\right) }\leq \dfrac{1}{2(n+1)}<\dfrac{1}{n}. Assim, para todos os inteiros 1\leq k\leq n, provámos que \left\vert e_{n,k}\right\vert <\dfrac{1}{n}, o que implica que e_{n,k} converge uniformemente em k para 0, visto que esta última desigualdade é independente de k.

Nota: deste limite decorre, fazendo tender N para infinito, na identidade

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{N+k}{k}\dbinom{N}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}},

deduzida, no mesmo artigo, uma das fórmulas de Roger Apéry, a igualdade das séries:

\zeta (3)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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