Na secção 4 deste artigo de Alf van der Poorten, sobre a demonstração da irracionalidade de por Roger Apéry, aparece o seguinte termo geral
de uma sucessão dupla que converge uniformente no índice . Para o provar é necessário mostrar que, quando
tende para infinito, a aproximação ao limite, que neste caso é igual a zero, é independente de
. Apresentei, no MSE, como demonstração, o seguinte argumento, que se baseia na definição de limite. A parte mais importante é obter um minorante do denominador. Este assunto já foi abordado por mim, neste blogue, nestas notas de cálculo (pontos 5 e 6).
Seja . Se
, então
. Para mostrar que
para
consideramos os dois casos seguintes:
- se
, então
;
- se
, então
e
. Logo
.
Assim, para , obtemos:
Para , vem
. Assim, para todos os inteiros
, provámos que
, o que implica que
converge uniformemente em
para
, visto que esta última desigualdade é independente de
.
Nota: deste limite decorre, fazendo tender para infinito, na identidade
deduzida, no mesmo artigo, uma das fórmulas de Roger Apéry, a igualdade das séries: