Relações de recorrência geradas pela integração por partes

Ao utilizar o método de integração por partes, por vezes, chega-se a uma relação de recorrência, o que permite reduzir o cálculo de um integral  ao de outro(s) do mesmo tipo, mas de ordem menor e, por isso, mais simples.  Este método traduz-se, como é sabido, na fórmula

\displaystyle\int f(x)g^{\prime }(x)\;\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime }(x)g(x)\;\mathrm{d}x+C

ou, abreviando para u=f(x) e v=g(x),  na seguinte, mais compacta

\displaystyle\int u\;\mathrm{d}v=uv-\displaystyle\int v\;\mathrm{d}u+C

É conveniente escolher para  g^{\prime }(x) a função mais fácil de integrar, das duas que figuram no produto da função integranda.  Normalmente,  as funções logarítmica, trigonométricas inversas, algébricas, trigonométricas e exponencial (regra prática Liate) apresentam uma facilidade de integração crescente. Mas também requere  um certo artifício, como se pode ver, desde logo, com a primitivação, por partes, de \log x=1\cdot\log x, em que se escolhe para função a integrar a constante 1. Para ilustrar o processo que leva à formação de uma relação de recorrência, aplico-o ao integral

\displaystyle I_{n}= \displaystyle\int \cos ^{n}x\;\mathrm{d}x

retirado de uma tabela de integrais, e que, omitindo a constante de integração C, satisfaz a relação

I_{n}=\dfrac{1}{n}\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\qquad n\geq 2

com as condições iniciais I_{0}=x e I_{1}=\sin x. Para o mostrar, vou integra-lo, por partes, depois de factorizar a função integranda, na forma \cos ^{n}x=\cos ^{n-1}x\cdot \cos x, e escolher como função  que vou derivar f(x)=\cos ^{n-1}x e integrar a g^{\prime}(x)=\cos x. Assim, como f^{\prime }(x)=\left( n-1\right) \cos ^{n-1}x e g(x)=\sin x, teremos:

\displaystyle\begin{aligned}I_{n}&=\displaystyle\int \cos ^{n-1}x\cdot \cos x\;\mathrm{d}x \\&=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+\left( n-1\right) \displaystyle\int \cos ^{n-2}x\cdot \sin^{2}x\;\mathrm{d}x\end{aligned}

Se substituirmos \sin ^{2}x por 1-\cos ^{2}x, o integral toma a forma

\displaystyle\begin{aligned}I_{n} &=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+\left( n-1\right)\displaystyle\int \cos ^{n-2}x\left(1-\cos ^{2}x\right) \;\mathrm{d}x \\&=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+\left( n-1\right) \displaystyle\int \cos ^{n-2}x\;dx-\left(n-1\right) I_{n}  \end{aligned}

na qual aparece um integral de uma potência menor e novamente um termo em I_{n}, no 2.º membro. Esta é a explicação pela qual o método gera a relação procurada, que se obtém imediatamente, resolvendo em ordem a I_{n}.

Exemplos de aplicação:

\displaystyle\begin{aligned}I_{2} &=\displaystyle\int\cos ^{2}x\;\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\cos x\cdot\sin x+\dfrac{1}{2}I_{0}\\&=\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{2}x\end{aligned}

e

\displaystyle\begin{aligned}I_{3} &=\displaystyle\int\cos ^{3}x\;\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\cos ^{2}x\cdot\sin x+\dfrac{2}{3}I_{1}\\&=\dfrac{1}{3}\cos ^{2}x\cdot\sin x+\dfrac{2}{3}\sin x\end{aligned}

Exercício 1: Mostre que

\displaystyle I_{n}=\displaystyle\int \sin ^{n}x\;\mathrm{d}x

verifica a seguinte fórmula de recorrência

\displaystyle I_{n}=-\dfrac{1}{n}\sin ^{n-1}x\cdot \cos x+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\qquad n\geq 2

útil no cálculo destes integrais.

Exercício 2: Deduza a equação funcional

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)

da função gama definida pelo integral

\displaystyle\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\;\mathrm{d}t

válido para x>0, onde é convergente.

Exercício 3: Obtenha a relação de recorrência verificada pelo integral da função f(x)=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{n}}.

Sugestão: Decomponha f(x) em duas fracções, somando e subtraindo x^{2} ao numerador, e integre a segunda fracção, por partes.

Termino com um integral que aparece no desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier da função x^{2p} em \left[ -\pi,\pi \right]

\displaystyle x^{2p}=\dfrac{\pi ^{2p}}{2p+1}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n,2p}\displaystyle\cos nx

Os coeficientes a_{n,2p} (n\geq 1) são da forma a_{n,2p}=\dfrac{2}{\pi }I_{n,2p}, em que o integral

\displaystyle I_{n,2p}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x

verifica a condição

\displaystyle I_{n,2p}=\dfrac{2p}{n^{2}}\pi ^{2p-1}\cos n\pi -\dfrac{2p\left( 2p-1\right) }{n^{2}}I_{n,2\left( p-1\right) }

que aqui deixo como mais um exercício. (ver justificação aqui)

[25-5-2011: corrigida gralha no desenvolvimento em série de Fourier de x^{2p}]

_______

Bibliografia consultada

FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.

APOSTOL, Tom, Cálculo, vol. 1, Editora Reverté Ltda., Barcelona, 1985.

TAYLOR, Angus, Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts, 1955.

SANTOS, Evaristo, Tabela de Integrais, Porto, 1878.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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6 respostas a Relações de recorrência geradas pela integração por partes

    • Até parece que o seu post me serviu de inspiração, tão semelhantes são! Por sinal não foi. Faz parte de uma tentativa de obter uma relação recursiva para a função zeta de Riemann, para os inteiros pares, de que a parte final do post é um esboço.

      Sei que existe, mas não se será obtível desta forma. Claro que, neste caso, não é uma questão de utilidade, visto que se pode exprimir explicitamente em termos dos números de Bernoulli, embora eles mesmos satisfaçam uma recorrência.

      Esta ideia parte do princípio de que \zeta(2n) se pode obter pelo desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier da função x^{2n}, no intervalo [-\pi,\pi], e particularizando para x=\pi.

  1. De forma alguma Tavares, você sempre tem boas idéias e o seu post veio enriquecer este interessante assunto. Sempre gosto de ler os seus artigos e será uma honra ter o seu blog na UBM. Abraços!

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