Parábola definida por quatro tangentes

Nota de 22-5-2011: Na resolução a seguir utilizo a seguinte equação da recta tangente ao gráfico de uma função f(x) no ponto (x_{i},f(x_{i}))

y=f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime }(x_{i})x_{i}+f(x_{i})\qquad (0)

A sua dedução é uma consequência directa da definição de derivada e da equação de uma recta que passa por um dado ponto. Uma recta tem por equação y=mx+b (1). Se passar pelo ponto (x_{i},y_{i}), há-de verificar-se y_{i}=mx_{i}+b (2). O declive m da recta tangente em (x_{i},f(x_{i})) é igual à derivada de f(x) nesse ponto, pelo que m=f^{\prime }(x_{i}) (3). Como a recta passa por (x_{i},f(x_{i})), tem-se y_{i}=f(x_{i}) (4). Usando (3) e (4) e subtraindo ordenadamente (2) de (1), elimina-se b, obtendo-se y-f(x_{i})=f^{\prime }(x_{i})(x-x_{i}), equação equivalente a (0).

* * *

Na questão recente Find equation of quadratic when given tangents? de MathsStudent, no  Mathematics Stack Exchange, pede-se para determinar a equação de uma função quadrática, conhecidas as equações de quatro tangentes: y=2x-10, y=x-4y=-x-4 e y=-2x-10.

Tradução da minha resposta:

Dado que os dois pares de tangentes são simétricos em relação ao eixo dos y, a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c deve ser par  (f(x)=f(-x)), o que implica que b=0.

As equações das tangentes ao gráfico de f(x)=ax^2+c, nos pontos (x_1,f(x_1)) e (x_2,f(x_2)), são

\displaystyle\begin{aligned}y&=f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime}(x_{i})x_{i}+f(x_{i})\qquad i=1,2\\&=2ax_{i}x+c-ax_{i}^{2}\end{aligned}

Estas equação devem ser equivalentes a duas das tangentes dadas, uma de cada par, por exemplo y=2x-10 e y=x-4:

\left\{\begin{aligned}2ax_{1}x+c-ax_{1}^{2}&=2x-10 \\ 2ax_{2}x+c-ax_{2}^{2}&=x-4\end{aligned}\right.

Agora comparamos  os coeficientes e resolvemos o sistema de 4 equações que daí resulta:

\left\{ \begin{aligned}2ax_{1}&=2 \\ c-ax_{1}^{2}&=-10 \\ 2ax_{2}&=1 \\c-ax_{2}^{2}&=-4\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}x_{1}&=8 \\ x_{2}&=4 \\ a&=\frac{1}{8} \\ c&=-2\end{aligned}\right.

Logo a quadrática é f(x)=\dfrac{1}{8}x^2-2.

* * *

Adenda de 22-5-2011: Na minha resposta à  questão What are a , b and c? do Mathematics Stack Exchange de aka apliquei este método à determinação dos coeficientes a, b e c da equação y=f(x)=ax^{2}+bx+c, sabendo-se que o gráfico de f(x) é tangente na origem à recta y=f(x) e que a recta y=2x+3 é outra das suas tangentes.

Uma vez que a derivada de y=f(x)=ax^{2}+bx+c é f^{\prime }(x)=2ax+b, as equações das tangentes ao gráfico de f(x) nos pontos (x_{i},f(x_{i})), com i=1,2 são

\begin{aligned}y&=f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime }(x_{i})x_{i}+f(x_{i})\\&=\left( 2ax_{i}+b\right) x-\left( 2ax_{i}+b\right) x_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}+c.\end{aligned}

Um dos pontos é  (x_{1},f(x_{1}))=(0,0). Como a equação da tangente em (0,0) é y=x devemos ter

bx+c\equiv x.

Comparando coeficientes obtemos b=1,c=0. Assim, f(x)=ax^{2}+x. De forma semelhante para a tangente em (x_{2},f(x_{2})) deve ser

\left( 2ax_{2}+1\right) x-\left( 2ax_{2}+1\right) x_{2}+ax_{2}^{2}+x_{2}\equiv 2x+3.

Comparando novamente coeficientes, obtemos o seguinte sistema em a and x_2, o que nos permite determinar a:

\left\{\begin{array}{c}2ax_{2}+1=2\qquad\qquad\qquad\\-\left( 2ax_{2}+1\right) x_{2}+ax_{2}^{2}+x_{2}=3.\end{array}\right.

Da primeira equação obtém-se  x_{2}=1/(2a), que substituindo na segunda equação dá a=-1/12.

Por tudo isto a equação quadrática y=f(x) é

y=-\dfrac{1}{12}x^{2}+x.

A seguir mostra-se o gráfico de  y=f(x) e as duas tangentes, nos pontos (0,0) e (-6,-9).

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Exercícios Matemáticos, Matemática, Mathematics Stack Exchange, Problemas com as etiquetas , , , . ligação permanente.

7 respostas a Parábola definida por quatro tangentes

  1. ateixeira diz:

    Para além de ser um post muito interessante também serviu para eu aprender que o ambiente aligned funciona no wordpress.com

  2. ateixeira diz:

    Eu pensava que estávamos sujeitos ao \begin{array}{rcl} no wordpress.com mas ainda bem que me enganei. Já utilizei o ambiente aligned no meu blog e hei-de continuar a uasar no futuro.

  3. Paulo Henrique diz:

    A maneira do exercício ser resolvido está bem elaborada. Entretanto, usando a Transformada de Legendre, não há necessidade de usar considerações de simetria, além de usar somente 3 da 4 equações das retas dadas.

    Gostei do Post.

    • Caro Paulo Henrique,

      Agradeço o seu comentário.

      É a primeira vez que contacto com a transformação de Legendre.

      Pelo que pesquisei entretanto, fiquei com a ideia de que é utilizada em vários ramos da Física. Estes são os meus cálculos para determinação da parábola com tangentes y=2x-10,y=-2x-10,y=x-4 e y=-x-4.

      Vou designar por F(p) a transformada de Legendre da função f(x).

      Será F(p)=-f(x)+px, em que p=f^{\prime }(x). No caso da parábola, temos f(x)=ax^{2}+bx+c e p=f^{\prime }(x)=2ax+b, donde x=\dfrac{p-b}{2a}, pelo que

      F(p)=-\left( a\left( \dfrac{p-b}{2a}\right) ^{2}+b\left( \dfrac{p-b}{2a}\right) +c\right) +p\left( \dfrac{p-b}{2a}\right) .

      A transformada da recta y=mx+B é o ponto (p,-B)=(m,-B). Entrando com a condição F(2)=F(-2)=-B=-(-10)=10, conclui-se que b=0 e a=\dfrac{1}{c+10}. Da outra condição F(1)=F(-1)=-(-4)=4 decorre que a=\dfrac{1}{4\left( c+4\right) }. Igualando c+10=4\left( c+4\right) obtém-se c=-2, pelo que a=\dfrac{1}{4\left( -2+4\right) }=\dfrac{1}{8}.

      Cheguei ao mesmo resultado. Espero não ter cometido nenhum erro de interpretação da transformação ou na sua aplicação.

      PS. A recta y=f^{\prime }(x_{0})x-F(p_{0}), em que p_{0}=f^{\prime }(x_{0}), é tangente ao gráfico de f(x) no ponto \left( x_{0},f(x_{0})\right) e corta o eixo dos y em (0,-F(p_{0})). Ver Legendre Transformation, na Wikipedia.

      A transformação de Legendre converte a parábola

      f(x)=ax^{2}+bx+c

      na parábola

      F(p)=\dfrac{1}{4a}p^{2}-\dfrac{1}{2a}pb+\dfrac{1}{4a}b^{2}-c,

      que resulta da simplificação da expressão indicada acima.

  4. Paulo Henrique diz:

    Novamente, parabéns pela sua página, que traz diversas informações e conteúdos que abrange vários ramos da Física e da Matemática.

    É verdade que a Transformada de Legendre aparece em vários ramos da Física, principalmente em Termodinâmica.

    Continue com o trabalho esplêndido que você tem realizado!

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s