Jacobiano

O jacobiano, cujo nome deriva de Carl Jacobi, matemático alemão do séc. XIX,  aparece no cálculo de derivadas parciais de sistemas de funções implícitas, como o descrito a seguir,  adaptado desta minha resposta, no MSE, e que o actual cabeçalho deste blogue pretende representar.

Suponhamos que temos simultaneamente duas funções implícitas diferenciáveis

\left\{\begin{array}{c}F(x,y,z,u,v)=0 \\\\G(x,y,z,u,v)=0\end{array}\right.

e duas funções, igualmente diferenciáveis, u=f(x,y,z) e v=g(x,y,z) tais que

\left\{\begin{array}{c}F(x,y,z,f(x,y,z),g(x,y,z))\equiv 0 \\\\G(x,y,z,f(x,y,z),g(x,y,z))\equiv 0\end{array}\right.

Diferenciando F e G em ordem a x, obtemos o sistema

\left\{ \begin{array}{c}\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x} =0 \\\\\dfrac{\partial G}{\partial x}+\dfrac{\partial G}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial G}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=0\end{array}\right. ,

que resolvido nos dá as derivadas parciais \partial u/\partial x e \partial v/\partial x; para a primeira destas, vem

\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{\det \begin{pmatrix}\partial F/\partial x & & \partial F/\partial v \\& & \\ \partial G/\partial x & & \partial G/\partial v\end{pmatrix}}{\det \begin{pmatrix}\partial F/\partial u & & \partial F/\partial v \\& & \\\partial G/\partial u & & \partial G/\partial v\end{pmatrix}};

e, analogamente para segunda. Em notação compacta, o denominador escreve-se

\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\det\begin{pmatrix}\dfrac{\partial F}{\partial u} & & \dfrac{\partial F}{\partial v} \\& & \\\dfrac{\partial G}{\partial u} & & \dfrac{\partial G}{\partial v}\end{pmatrix};

e de forma parecida, o numerador. Nesta notação é então

\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}}{\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}},

em que \partial (F,G)/\partial (x,y),\partial (F,G)/\partial(u,v) são  determinantes jacobianos.

Se diferenciássemos em ordem a y, obteríamos as derivadas parciais \partial u/\partial y\partial v/\partial y, e em ordem a z, \partial u/\partial z\partial v/\partial z.

O jacobiano de uma transformação de coordenadas, como nesta surpreendente, de Beukers, Calabi e Kolk

\left\{ \begin{array}{c}x=\dfrac{\sin u}{\cos v}\\\\y=\dfrac{\sin v}{\cos u},\end{array}\right.

que converte o quadrado 0<x<1 e 0<y<1 no triângulo u,v>0,u+v<\pi /2 (em Proofs from the BOOK  de M. Aigner and G. Ziegler), indica, em valor absoluto, a maneira como a área  é  locamente distorcida pela  transformação.  Neste caso chega-se a

\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=1-x^2y^{2}.

É esse valor absoluto do jacobiano de uma transformação de coordenadas  que é usado para fazer a conversão de integrais múltiplos de um sistema de coordenadas noutro, como  das cartesianas para as polares, esféricas e cilíndricas.  Em \mathbb{R}^2 dá-nos o aumento ou redução do elemento de área, em \mathbb{R}^3,  de volume.

Relações de recorrência geradas pela integração por partes

Ao utilizar o método de integração por partes, por vezes, chega-se a uma relação de recorrência, o que permite reduzir o cálculo de um integral  ao de outro(s) do mesmo tipo, mas de ordem menor e, por isso, mais simples.  Este método traduz-se, como é sabido, na fórmula

\displaystyle\int f(x)g^{\prime }(x)\;\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime }(x)g(x)\;\mathrm{d}x+C

ou, abreviando para u=f(x) e v=g(x),  na seguinte, mais compacta

\displaystyle\int u\;\mathrm{d}v=uv-\displaystyle\int v\;\mathrm{d}u+C

É conveniente escolher para  g^{\prime }(x) a função mais fácil de integrar, das duas que figuram no produto da função integranda.  Normalmente,  as funções logarítmica, trigonométricas inversas, algébricas, trigonométricas e exponencial (regra prática Liate) apresentam uma facilidade de integração crescente. Mas também requere  um certo artifício, como se pode ver, desde logo, com a primitivação, por partes, de \log x=1\cdot\log x, em que se escolhe para função a integrar a constante 1. Para ilustrar o processo que leva à formação de uma relação de recorrência, aplico-o ao integral

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Parábola definida por quatro tangentes

Nota de 22-5-2011: Na resolução a seguir utilizo a seguinte equação da recta tangente ao gráfico de uma função f(x) no ponto (x_{i},f(x_{i}))

y=f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime }(x_{i})x_{i}+f(x_{i})\qquad (0)

A sua dedução é uma consequência directa da definição de derivada e da equação de uma recta que passa por um dado ponto. Uma recta tem por equação y=mx+b (1). Se passar pelo ponto (x_{i},y_{i}), há-de verificar-se y_{i}=mx_{i}+b (2). O declive m da recta tangente em (x_{i},f(x_{i})) é igual à derivada de f(x) nesse ponto, pelo que m=f^{\prime }(x_{i}) (3). Como a recta passa por (x_{i},f(x_{i})), tem-se y_{i}=f(x_{i}) (4). Usando (3) e (4) e subtraindo ordenadamente (2) de (1), elimina-se b, obtendo-se y-f(x_{i})=f^{\prime }(x_{i})(x-x_{i}), equação equivalente a (0).

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Na questão recente Find equation of quadratic when given tangents? de MathsStudent, no  Mathematics Stack Exchange, pede-se para determinar a equação de uma função quadrática, conhecidas as equações de quatro tangentes: y=2x-10, y=x-4y=-x-4 e y=-2x-10.

Tradução da minha resposta:

Dado que os dois pares de tangentes são simétricos em relação ao eixo dos y, a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c deve ser par  (f(x)=f(-x)), o que implica que b=0.

As equações das tangentes ao gráfico de f(x)=ax^2+c, nos pontos (x_1,f(x_1)) e (x_2,f(x_2)), são

\displaystyle\begin{aligned}y&=f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime}(x_{i})x_{i}+f(x_{i})\qquad i=1,2\\&=2ax_{i}x+c-ax_{i}^{2}\end{aligned}

Estas equação devem ser equivalentes a duas das tangentes dadas, uma de cada par, por exemplo y=2x-10 e y=x-4:

\left\{\begin{aligned}2ax_{1}x+c-ax_{1}^{2}&=2x-10 \\ 2ax_{2}x+c-ax_{2}^{2}&=x-4\end{aligned}\right.

Agora comparamos  os coeficientes e resolvemos o sistema de 4 equações que daí resulta:

\left\{ \begin{aligned}2ax_{1}&=2 \\ c-ax_{1}^{2}&=-10 \\ 2ax_{2}&=1 \\c-ax_{2}^{2}&=-4\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}x_{1}&=8 \\ x_{2}&=4 \\ a&=\frac{1}{8} \\ c&=-2\end{aligned}\right.

Logo a quadrática é f(x)=\dfrac{1}{8}x^2-2.

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Adenda de 22-5-2011: Na minha resposta à  questão What are a , b and c? do Mathematics Stack Exchange de aka apliquei este método à determinação dos coeficientes a, b e c da equação y=f(x)=ax^{2}+bx+c, sabendo-se que o gráfico de f(x) é tangente na origem à recta y=f(x) e que a recta y=2x+3 é outra das suas tangentes.

Uma vez que a derivada de y=f(x)=ax^{2}+bx+c é f^{\prime }(x)=2ax+b, as equações das tangentes ao gráfico de f(x) nos pontos (x_{i},f(x_{i})), com i=1,2 são

\begin{aligned}y&=f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime }(x_{i})x_{i}+f(x_{i})\\&=\left( 2ax_{i}+b\right) x-\left( 2ax_{i}+b\right) x_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}+c.\end{aligned}

Um dos pontos é  (x_{1},f(x_{1}))=(0,0). Como a equação da tangente em (0,0) é y=x devemos ter

bx+c\equiv x.

Comparando coeficientes obtemos b=1,c=0. Assim, f(x)=ax^{2}+x. De forma semelhante para a tangente em (x_{2},f(x_{2})) deve ser

\left( 2ax_{2}+1\right) x-\left( 2ax_{2}+1\right) x_{2}+ax_{2}^{2}+x_{2}\equiv 2x+3.

Comparando novamente coeficientes, obtemos o seguinte sistema em a and x_2, o que nos permite determinar a:

\left\{\begin{array}{c}2ax_{2}+1=2\qquad\qquad\qquad\\-\left( 2ax_{2}+1\right) x_{2}+ax_{2}^{2}+x_{2}=3.\end{array}\right.

Da primeira equação obtém-se  x_{2}=1/(2a), que substituindo na segunda equação dá a=-1/12.

Por tudo isto a equação quadrática y=f(x) é

y=-\dfrac{1}{12}x^{2}+x.

A seguir mostra-se o gráfico de  y=f(x) e as duas tangentes, nos pontos (0,0) e (-6,-9).