Fracções contínuas generalizadas — Diferenças dos produtos cruzados dos numeradores e denominadores canónicos

Proponho-me demonstrar três fórmulas relativas às diferenças dos produtos cruzados dos numeradores e denominadores canónicos A_{n},B_{n} da fracção contínua generalizada

\dfrac{A_{n}}{B_{n}}=b_{0}+\underset{\nu =1}{\overset{n}{\mathbf{K}}}\left( \dfrac{a_{\nu}}{b_{\nu}}\right)\qquad (0)

a partir da relação de recorrência fundamental

\left\{ \begin{array}{c}b_{\nu }A_{\nu -1}+a_{\nu }A_{\nu -2}=A_{\nu } \\ b_{\nu }B_{\nu -1}+a_{\nu }B_{\nu -2}=B_{\nu }\end{array}\right. \qquad(\nu=1,2,\dots,n)\qquad (1)

e das condições iniciais a ela associadas A_{-1}=1, B_{-1}=0, A_{0}=b_{0}, B_{0}=1.

1. Demonstração da fórmula chamada do determinante (*)

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=\left( -1\right) ^{\nu-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu }\qquad (2)

Partindo da relação de recorrência (1), se multiplicarmos a primeira equação por B_{\nu -1} e a segunda por A_{\nu -1} e subtraírmos esta daquela, resulta

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=-a_{\nu }\left( A_{\nu -1}B_{\nu-2}-A_{\nu -2}B_{\nu -1}\right) \qquad (3)

Como

A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1}=(b_{0}b_{1}+a_{1})1-b_{0}b_{1}=a_{1}

vemos que a identidade (3) é verificada para \nu =1:

A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1}=-a_{1}(A_{0}B_{-1}-A_{-1}B_{0})=-a_{1}(-1)=a_{1}

Aplicando (3) repetidamente, ao fim da iteração de ordem \nu obtemos a identidade (2):

A_{2}B_{1}-A_{1}B_{2}=-a_{2}(A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1})=-a_{1}a_{2}

A_{3}B_{3}-A_{2}B_{3}=-a_{3}(A_{2}B_{1}-A_{1}B_{0})=a_{1}a_{2}a_{3}

\vdots

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=\left( -1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu }

2. Demonstração da fórmula

A_{\nu }B_{\nu -2}-A_{\nu -2}B_{\nu }=\left( -1\right) ^{\nu }b_{\nu}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}\qquad (4)

Começamos por dividir os dois membros de (1) por B_{\nu }B_{\nu -1}:

\dfrac{A_{\nu }}{B_{\nu }}-\dfrac{A_{\nu -1}}{B_{\nu -1}}=\dfrac{\left(-1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu }}{B_{\nu }B_{\nu -1}}\qquad (5)

e substituímos \nu por \nu -1:

\dfrac{A_{\nu -1}}{B_{\nu -1}}-\dfrac{A_{\nu -2}}{B_{\nu -2}}=\dfrac{\left(-1\right) ^{\nu }a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}}{B_{\nu -1}B_{\nu -2}}\qquad (6)

Somando estas relações, membro a membro, vem

\dfrac{A_{\nu }}{B_{\nu }}-\dfrac{A_{\nu -2}}{B_{\nu -2}}=\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}a_{\nu }}{B_{\nu }B_{\nu -1}}+\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu }a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}}{B_{\nu -1}B_{\nu -2}}

=\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu }a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}}{B_{\nu -1}}\left( -\dfrac{a_{\nu }}{B_{\nu }}+\dfrac{1}{B_{\nu -2}}\right)

=\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu }a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}}{B_{\nu -1}}\left( \dfrac{B_{\nu }-a_{\nu }B_{\nu -2}}{B_{\nu -2}B_{\nu }}\right)

Da segunda relação de (1) obtemos

b_{\nu }B_{\nu -1}=B_{\nu }-a_{\nu }B_{\nu -2}

pelo que

\dfrac{A_{\nu }B_{\nu -2}-A_{\nu -2}B_{\nu }}{B_{\nu }B_{\nu -2}}=\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu }a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}}{B_{\nu -1}}\left( \dfrac{b_{\nu }B_{\nu -1}}{B_{\nu -2}B_{\nu }}\right)

=\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu }a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -1}b_{\nu }}{B_{\nu-2}B_{\nu }}

donde resulta (4).

3. Demonstração da fórmula

A_{\nu }B_{\nu-3}-A_{\nu -3}B_{\nu }=(-1)^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -2}\left( b_{\nu}b_{\nu -1}+a_{\nu }\right) \qquad (7)

na forma que resulta da divisão dos seus dois membros por B_{\nu-3}B_{\nu}:

\dfrac{A_{\nu }}{B_{\nu }}-\dfrac{A_{\nu -3}}{B_{\nu -3}}=(-1)^{\nu-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -2}\dfrac{b_{\nu }b_{\nu -1}+a_{\nu }}{B_{\nu-3}B_{\nu }}\qquad (8)

Substituímos \nu por \nu -1 em (6)

\dfrac{A_{\nu -2}}{B_{\nu -2}}-\dfrac{A_{\nu -3}}{B_{\nu -3}}=\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -2}}{B_{\nu -2}B_{\nu -3}}\qquad (9)

Para encurtar a notação, pomos

\alpha _{\nu }=\dfrac{\left( -1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -2}}{B_{\nu -3}B_{\nu -2}B_{\nu -1}B_{\nu }}\qquad (10)

Somando membro a membro as três identidades (5),(6) e (9), obtemos

\dfrac{A_{\nu }}{B_{\nu }}-\dfrac{A_{\nu -3}}{B_{\nu -3}}

=\left( -1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu -2}\left( \dfrac{a_{\nu -1}a_{\nu }}{B_{\nu }B_{\nu -1}}-\dfrac{a_{\nu -1}}{B_{\nu -1}B_{\nu -2}}+\dfrac{1}{B_{\nu -2}B_{\nu -3}}\right)

=\alpha _{\nu }\left( a_{\nu -1}a_{\nu }B_{\nu -3}B_{\nu -2}-a_{\nu-1}B_{\nu -3}B_{\nu }+B_{\nu -1}B_{\nu }\right)

=\alpha _{\nu }\left( a_{\nu -1}a_{\nu }B_{\nu -3}B_{\nu -2}-a_{\nu -1}B_{\nu -3}\left( b_{\nu }B_{\nu -1}+a_{\nu }B_{\nu -2}\right) \right)

+\alpha _{\nu }B_{\nu -1}\left( b_{\nu }B_{\nu -1}+a_{\nu }B_{\nu -2}\right)

=\alpha _{\nu }\left( a_{\nu -1}a_{\nu }B_{\nu -3}B_{\nu -2}-a_{\nu -1}\left( b_{\nu }B_{\nu -1}B_{\nu -3}+a_{\nu }B_{\nu -2}B_{\nu -3}\right)\right)

+\alpha _{\nu }\left( b_{\nu }B_{\nu -1}^{2}+a_{\nu }B_{\nu -2}B_{\nu-1}\right)

=\alpha _{\nu }\left( -a_{\nu -1}b_{\nu }B_{\nu -1}B_{\nu -3}+b_{\nu}B_{\nu -1}^{2}+a_{\nu }B_{\nu -2}B_{\nu -1}\right)

Assim, para provar (8), basta mostrar a validade de:

\dfrac{-a_{\nu -1}b_{\nu }B_{\nu -1}B_{\nu -3}+b_{\nu }B_{\nu -1}^{2}+a_{\nu}B_{\nu -2}B_{\nu -1}}{B_{\nu -3}B_{\nu -2}B_{\nu -1}B_{\nu }}=\dfrac{b_{\nu}b_{\nu -1}+a_{\nu }}{B_{\nu -3}B_{\nu }}

Simplificando, obtemos, sucessivamente:

\dfrac{-a_{\nu -1}b_{\nu }B_{\nu -1}B_{\nu -3}+b_{\nu }B_{\nu -1}^{2}+a_{\nu}B_{\nu -2}B_{\nu -1}}{B_{\nu -2}B_{\nu -1}}=b_{\nu }b_{\nu -1}+a_{\nu}

\dfrac{1}{B_{\nu -2}}\left( -a_{\nu -1}b_{\nu }B_{\nu -3}+b_{\nu }B_{\nu -1}+a_{\nu }B_{\nu -2}\right) =b_{\nu }b_{\nu -1}+a_{\nu }

\dfrac{1}{B_{\nu -2}}\left( -a_{\nu -1}b_{\nu }B_{\nu -3}+b_{\nu }B_{\nu -1}\right) =b_{\nu }b_{\nu -1}

\dfrac{1}{B_{\nu -2}}\left( -a_{\nu -1}B_{\nu -3}+B_{\nu -1}\right) =b_{\nu -1}

e

-a_{\nu -1}B_{\nu -3}+B_{\nu -1}=b_{\nu -1}B_{\nu -2}

Esta igualdade, equivalente a

B_{\nu -1}=b_{\nu -1}B_{\nu -2}+a_{\nu -1}B_{\nu -3}

mais não é do que a segunda identidade de (1)

B_{\nu }=b_{\nu }B_{\nu -1}+a_{\nu }B_{\nu -2}

se substituirmos \nu por \nu -1, ficando assim provado aquilo que nos propusemos.

(*) As fracções contínuas podem escrever-se usando a notação matricial. O nome da fórmula (2) deriva do facto de se obter directamente calculando o determinante da matriz

\displaystyle\begin{pmatrix}A_{\nu } & A_{\nu -1} \\ B_{\nu } & B_{\nu -1}\end{pmatrix}=\displaystyle\prod_{k=0}^{\nu }\begin{pmatrix}b_{k} & 1 \\ a_{k} & 0\end{pmatrix}\qquad(\text{com }a_0=1)

PERRON, Oskar, Die Lehre von den Kettenbrüchen, 3.ª ed., vol. II, B. G. Teubner, Stuttgart, 1957.

KHRUSHCHEV, Sergey , Orthogonal Polynomials and Continued Fractions: From Euler’s Point of View, Cambridge University Press, 2008.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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