Resolução com variáveis complexas de um problema trigonométrico publicado em Fatos Matemáticos

O blogue Fatos Matemáticos do Prof. Paulo Sérgio tem vindo a publicar regularmente problemas de vários níveis. O seguinte é de 1-10-2010:

« Problema 4: Mostre que

\cos 36{{}^\circ}-\cos 72{{}^\circ}=\dfrac{1}{2} »

No espírito do meu post Pentágono,  complexos e trigonometria apresentei a seguinte proposta de solução (aceite):

Converto por conveniência as medidas dos ângulos em radianos — 36{{}^\circ}=\dfrac{\pi }{5},72{{}^\circ}=\dfrac{2\pi }{5} — e começo por transformar este problema trigonométrico num de variáveis complexas. Para isso faço w=e^{i2\pi /5}\neq1. Como

w^{5}-1=(w-1)(w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1)

e w^{5}=e^{i2\pi }=1, logo w^{5}-1=0, há-de ser

w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1=0

e também

\text{Re }\left( w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1\right) =0

pelo que, atendendo a que \text{Re }w^{4}=\cos \dfrac{8\pi }{5}, etc., vem sucessivamente

\displaystyle\begin{aligned}\cos \dfrac{8\pi }{5}+\cos \dfrac{6\pi }{5}+\cos \dfrac{4\pi }{5}+\cos \dfrac{2\pi }{5}+1 &=&0 \\\cos \left( 2\pi -\dfrac{2\pi }{5}\right) +\cos \left( 2\pi -\dfrac{4\pi }{5}\right) +\cos \dfrac{4\pi }{5}+\cos \dfrac{2\pi }{5}+1 &=&0 \\2\cos \left( \dfrac{4\pi }{5}\right) +2\cos \left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +1&=&0\text{.}\end{aligned}

Como

\cos \left( \dfrac{4\pi }{5}\right) =\cos ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) -\sin ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right)

será

\displaystyle\begin{aligned}2\cos ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) -2\sin ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +2\cos \left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +1 &=&0 \\4\cos ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +2\cos \left( \dfrac{2\pi }{5}\right)-1 &=&0\end{aligned}

ou seja

\cos \dfrac{2\pi }{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}>0

Mas, sendo

\cos \dfrac{\pi }{5}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \dfrac{2\pi }{5}}{2}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{6+2\sqrt{5}}

e reparando que \sqrt{6+2\sqrt{5}}=1+\sqrt{5}, obtemos finalmente

\cos \dfrac{\pi }{5}-\cos \dfrac{2\pi }{5}=\dfrac{1}{4}\left( \sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1\right) =\dfrac{1}{2}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Resolução com variáveis complexas de um problema trigonométrico publicado em Fatos Matemáticos

  1. Olá Tavares, fico muito agradecido por citar o blog em seu post. Fique a vontade para participar desta quinta edição dos problemas dos Fatos. Abraços!

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