Plano tangente e recta normal a uma superfície

No caso geral de uma superfície definida pela equação z=f(x,y), se f(x,y) for uma função contínua e admitir derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y no ponto (x_{0},y_{0}), a equação da recta tangente à curva z=f(x,y_{0}) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e perpendicular ao eixo y é, por definição de derivada parcial, dada por

\left\{ \begin{array}{c}z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0}) \\ y=y_{0}\end{array}\right. \qquad (\ast )

enquanto que a recta tangente à curva z=f(x_{0},y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e perpendicular ao eixo x é definida por

\left\{ \begin{array}{c}z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0}) \\ x=x_{0}\end{array}\right. \qquad (\ast \ast )

As duas rectas tangentes definem o plano tangente à superfície no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) — admitindo a condição suplementar de f(x,y) ser diferenciável em (x_{0},y_{0}) . A equação geral de um plano é

Ax+By+Cz+D=0

Como este plano passa por (x_{0},y_{0},z_{0}) há-de verificar-se

Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0

donde, por subtracção ordenada, se obtém

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0

ou, de forma equivalente:

z=z_{0}-\dfrac{A}{C}\left( x-x_{0}\right) -\dfrac{B}{C}\left( y-y_{0}\right)\qquad (\ast \ast \ast )

Determinamos agora os coeficientes de maneira a que contenha as rectas (\ast ) e (\ast \ast ). Fazendo, respectivamente, y=y_{0} e x=x_{0} em (\ast \ast \ast ) obtemos uma e outra recta, pelo que deverá ser

z_{0}-\dfrac{A}{C}\left( x-x_{0}\right)=z_{0}+\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert _{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})

z_{0}-\dfrac{B}{C}\left( y-y_{0}\right)=z_{0}+\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert _{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})

chegando-se assim à  equação do plano tangente

z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})+\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})

Exemplo: Determine a equação do plano tangente à  superfície quártica  ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1 no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e a da recta normal à superfície nesse ponto.

Resolução: A função z=f(x,y) definida por ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1, ou seja z=\pm \frac{1}{c}\sqrt{c\left( 1-ax^{2}-by^{2}\right) }  admite as seguintes derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y no ponto (x_{0},y_{0})

\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}=\mp\dfrac{ax_{0}}{\sqrt{c\left( 1-ax_{0}^{2}-by_{0}^{2}\right) }}=-\dfrac{a}{c}\dfrac{x_{0}}{z_{0}}

\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}=\mp\dfrac{by_{0}}{\sqrt{c\left( 1-ax_{0}^{2}-by_{0}^{2}\right) }}=-\dfrac{b}{c}\dfrac{y_{0}}{z_{0}}

pelo que o plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) tem por equação

z=z_{0}-\dfrac{a}{c}\dfrac{x_{0}}{z_{0}}(x-x_{0})-\dfrac{b}{c}\dfrac{y_{0}}{z_{0}}(y-y_{0})

ou

ax_{0}x+by_{0}y+cz_{0}z=1\text{.}

Um  vector normal a este plano é o vector \mathbf{n}=(ax_{0},by_{0},cz_{0}). A equação  vectorial da recta normal é então

(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+k(ax_{0},by_{0},cz_{0})

donde

\dfrac{x-x_{0}}{ax_{0}}=\dfrac{y-y_{0}}{bx_{0}}=\dfrac{z-z_{0}}{cz_{0}}\text{.}

Nota 1: um método alternativo de obter as derivadas parciais é diferenciar ambos os membros de

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1=0

em ordem a x e y:

2ax+2cz\dfrac{\partial z}{\partial x}=0\qquad 2by+2cz\dfrac{\partial z}{\partial y}=0

e resolver em ordem a \partial z/\partial x e \partial z/\partial y

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{ax}{cz}\qquad\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{by}{cz}

Nota 2: se considerarmos a função F(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1 e calcularmos as suas derivadas parciais, obtemos

\dfrac{\partial F}{\partial x}=2ax\quad\dfrac{\partial F}{\partial y}=2by\quad \dfrac{\partial F}{\partial z}=2cz

pelo que podemos exprimir \partial z/\partial x e \partial z/\partial y da seguinte forma

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{ax}{cz}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}\qquad\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{by}{cz}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}

Adenda: como o leitor poderá verificar facilmente, no caso geral da superfície z=f(x,y), nas condições referidas, o vector normal tem como coordenadas x e y as derivadas parciais em relação a, respectivamente, x e y e a coordenada z=-1: \mathbf{n}=(f_{x}^{\prime }(x_{0},y_{0}),f_{y}^{\prime }(x_{0},y_{0}),-1) (numa notação alternativa das derivadas parciais), a que corresponde a seguinte equação da recta normal

(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+k(f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0}),f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0}),-1)

ou

\dfrac{x-x_{0}}{f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})}=\dfrac{y-y_{0}}{f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})}=-(z-z_{0})

Adenda: Em notação compacta a equação do plano tangente a uma superfície definida implicitamente por F(x,y,z)=0, no ponto \left( x_0,y_0,z_0\right), em que  \mathbf{x}=\left( x,y,z\right), é a seguinte

\left( \mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right) \cdot \mathbf{\nabla }F(\mathbf{x}_{0})=0,

como poderá ver nesta minha resposta no MSE.

Edições de 6 e 7-12-2010: alterações diversas.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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