28 Lições de Teoria dos Números por Alf van der Poorten … e BOM 2011

Foi através deste post do blogue Recursivity de Jeffrey Shallit que tomei conhecimento do falecimento do matemático Alf van der Poorten, cujas principais áreas de investigação foram as relações de recorrência, as fracções contínuas, a aproximação diofantica (ou diofantina) e os números p-ádicos. Neste blogue já mencionei o seu nome a propósito da demonstração da irracionalidade da constante de Apéry — ver este seu artigo de 1979 ( n.º 45 de  A. J. van der Poorten — Manuscripts and Publications).

Fonte

O meu último Problema do mês — ainda não resolvido — “mostre que

\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\dfrac{(-1)^{n+k}n}{\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n+k}{k}}-\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\dfrac{(-1)^{n+k}n}{\displaystyle\binom{n-1}{k}\displaystyle\binom{n-1+k}{k}}

=\dfrac{k}{\displaystyle\binom{2k}{k}}+\dfrac{(-1)^{N+k-1}k}{\displaystyle\binom{N}{k}\displaystyle\binom{N+k}{k}}

foi adaptado desse artigo. No verão de 2004, Alf van der Poorten proferiu 28 lições sobre tópicos da Teoria dos Números, que se encontram disponíveis, em vídeo, em 28 Number Theory Lectures by Alf van der Poorten, AMSI Summer School 2004.

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Festa dos 70 anos da SPM, 12-12-10, Museu de Ciência da Universidade de Lisboa

Informação da SPM recebida por e-mail:

« É já no próximo domingo, dia 12 de Dezembro, que a SPM celebrará 70 anos de existência com uma festa de anos no Museu de Ciência da Universidade de Lisboa, que substituirá o tradicional almoço de aniversário.
As comemorações decorrem entre as 14h e as 18h e serão abertas ao público, com entrada gratuita. Será uma tarde recheada de actividades: workshops de origamis, “Magia do Nós”, “Matemática a Brincar”, Módulos Interactivos das Olimpíadas de Matemática, actividades do ClubeMath, filmes do Berlin Math Film Festival 2008, teatro, Jogos Matemáticos e uma Sessão Comemorativa dos 70 anos, além das exposições patentes no museu. (…) »

Plano tangente e recta normal a uma superfície

No caso geral de uma superfície definida pela equação z=f(x,y), se f(x,y) for uma função contínua e admitir derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y no ponto (x_{0},y_{0}), a equação da recta tangente à curva z=f(x,y_{0}) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e perpendicular ao eixo y é, por definição de derivada parcial, dada por

\left\{ \begin{array}{c}z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0}) \\ y=y_{0}\end{array}\right. \qquad (\ast )

enquanto que a recta tangente à curva z=f(x_{0},y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e perpendicular ao eixo x é definida por

\left\{ \begin{array}{c}z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0}) \\ x=x_{0}\end{array}\right. \qquad (\ast \ast )

As duas rectas tangentes definem o plano tangente à superfície no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) — admitindo a condição suplementar de f(x,y) ser diferenciável em (x_{0},y_{0}) . A equação geral de um plano é

Ax+By+Cz+D=0

Como este plano passa por (x_{0},y_{0},z_{0}) há-de verificar-se

Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0

donde, por subtracção ordenada, se obtém

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0

ou, de forma equivalente:

z=z_{0}-\dfrac{A}{C}\left( x-x_{0}\right) -\dfrac{B}{C}\left( y-y_{0}\right)\qquad (\ast \ast \ast )

Determinamos agora os coeficientes de maneira a que contenha as rectas (\ast ) e (\ast \ast ). Fazendo, respectivamente, y=y_{0} e x=x_{0} em (\ast \ast \ast ) obtemos uma e outra recta, pelo que deverá ser

z_{0}-\dfrac{A}{C}\left( x-x_{0}\right)=z_{0}+\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert _{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})

z_{0}-\dfrac{B}{C}\left( y-y_{0}\right)=z_{0}+\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert _{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})

chegando-se assim à  equação do plano tangente

z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})+\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})

Exemplo: Determine a equação do plano tangente à  superfície quártica  ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1 no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e a da recta normal à superfície nesse ponto.

Resolução: A função z=f(x,y) definida por ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1, ou seja z=\pm \frac{1}{c}\sqrt{c\left( 1-ax^{2}-by^{2}\right) }  admite as seguintes derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y no ponto (x_{0},y_{0})

\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}=\mp\dfrac{ax_{0}}{\sqrt{c\left( 1-ax_{0}^{2}-by_{0}^{2}\right) }}=-\dfrac{a}{c}\dfrac{x_{0}}{z_{0}}

\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}=\mp\dfrac{by_{0}}{\sqrt{c\left( 1-ax_{0}^{2}-by_{0}^{2}\right) }}=-\dfrac{b}{c}\dfrac{y_{0}}{z_{0}}

pelo que o plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) tem por equação

z=z_{0}-\dfrac{a}{c}\dfrac{x_{0}}{z_{0}}(x-x_{0})-\dfrac{b}{c}\dfrac{y_{0}}{z_{0}}(y-y_{0})

ou

ax_{0}x+by_{0}y+cz_{0}z=1\text{.}

Um  vector normal a este plano é o vector \mathbf{n}=(ax_{0},by_{0},cz_{0}). A equação  vectorial da recta normal é então

(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+k(ax_{0},by_{0},cz_{0})

donde

\dfrac{x-x_{0}}{ax_{0}}=\dfrac{y-y_{0}}{bx_{0}}=\dfrac{z-z_{0}}{cz_{0}}\text{.}

Nota 1: um método alternativo de obter as derivadas parciais é diferenciar ambos os membros de

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1=0

em ordem a x e y:

2ax+2cz\dfrac{\partial z}{\partial x}=0\qquad 2by+2cz\dfrac{\partial z}{\partial y}=0

e resolver em ordem a \partial z/\partial x e \partial z/\partial y

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{ax}{cz}\qquad\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{by}{cz}

Nota 2: se considerarmos a função F(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1 e calcularmos as suas derivadas parciais, obtemos

\dfrac{\partial F}{\partial x}=2ax\quad\dfrac{\partial F}{\partial y}=2by\quad \dfrac{\partial F}{\partial z}=2cz

pelo que podemos exprimir \partial z/\partial x e \partial z/\partial y da seguinte forma

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{ax}{cz}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}\qquad\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{by}{cz}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}

Adenda: como o leitor poderá verificar facilmente, no caso geral da superfície z=f(x,y), nas condições referidas, o vector normal tem como coordenadas x e y as derivadas parciais em relação a, respectivamente, x e y e a coordenada z=-1: \mathbf{n}=(f_{x}^{\prime }(x_{0},y_{0}),f_{y}^{\prime }(x_{0},y_{0}),-1) (numa notação alternativa das derivadas parciais), a que corresponde a seguinte equação da recta normal

(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+k(f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0}),f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0}),-1)

ou

\dfrac{x-x_{0}}{f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})}=\dfrac{y-y_{0}}{f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})}=-(z-z_{0})

Adenda: Em notação compacta a equação do plano tangente a uma superfície definida implicitamente por F(x,y,z)=0, no ponto \left( x_0,y_0,z_0\right), em que  \mathbf{x}=\left( x,y,z\right), é a seguinte

\left( \mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right) \cdot \mathbf{\nabla }F(\mathbf{x}_{0})=0,

como poderá ver nesta minha resposta no MSE.

Edições de 6 e 7-12-2010: alterações diversas.