Prova de frequência de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 21/1/70

Ainda sobre Análise Infinitesimal I, do Prof. Dr. Gameiro Pais, transcrevo a minha prova de frequência de 21/1/70.

I

Considere as equações

z=y+\dfrac{\alpha}{2}x\qquad \text{e\qquad }z=-y+\dfrac{1}{2\alpha}x

a) O que representa, para cada valor do parâmetro \alpha, cada uma daquelas equações?

b) O que representa, para cada  \alpha, a intersecção dos 2 conjuntos referidos em a)? Porquê? Escreva na forma canónica as equações desse conjunto.

c) Mostre que a função que faz corresponder a cada \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2} a solução z\geq 0 do sistema formado pelas duas equações iniciais admite a expressão

z=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}}

d) Calcule \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} num ponto (x,y)\neq (0,0)

e) O que pode dizer sobre f_{x}^{\prime }(0,0) e f_{y}^{\prime }(0,0) ?

f) Identifique o gráfico desta função.

g) O que significam os conjuntos referidos em b) em relação ao gráfico daquela função z=f(x,y) ?

II

A função de \mathbb{R} para \mathbb{R}^{3} definida por

x=e^{\lambda }\cdot \text{sen }\lambda \text{, }y=e^{\lambda }\cdot \cos\lambda \text{, }z=e^{\lambda }

estabelece homeomorfias entre os intervalos fechados limitados \left[ a,b\right]\in\mathbb{R} e subconjuntos de \mathbb{R}^{3}.

a) Determine o vector normal principal \overline{n} unitário e a curvatura num ponto genérico.

b) Estabeleça uma expressão da curvatura tomando para variável independente o parâmetro s, abcissa curvilínea, e tomando para origem de contagem de s o ponto de cota z=1 e para sentido positivo de contagem dos arcos o que corresponde às cotas crescentes.

c) Como explica o facto de a expressão da curvatura obtida em b) poder tomar valores negativos para s\leq -\sqrt{3} ?

III

Designe F o espaço vectorial das funções que admitem 1.ª derivada contínua no seu domínio I=\left[ 0,1\right] sujeitas à condição f(0)=0 (com as definições habituais da adição de funções e de multiplicação de um número real por uma função) e seja \mu a norma definida neste espaço por

\mu (f)=\text{M\'{a}x}\left\{ \left\vert f(x)\right\vert ,x\in I\right\}\text{.}

a) Mostre que a expressão

\beta (f)=\text{M\'{a}x}\left\{\left\vert f(x)\right\vert ,\left\vert f^{\prime }(x)\right\vert ,x\in I\right\}

também define uma norma em F.

b) Diga se é \beta\sim\mu e justifique a afirmação.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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