O meu exame final de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 29/6/70

Transcrevo o enunciado do exame final, de 29/6/70, da disciplina anual Análise Infinitesimal I, leccionada no IST, em 69/70, no 2.º ano, nos cursos de engenharia, pelo Prof. Dr. Gameiro Pais.

I

Sejam (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}) dois espaços métricos e defina-se em E_{1}\times  E_{2}=E

d(x,y)=\text{M\'{a}x}\left\{ d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\right\}

para todos x=(x_{1},x_{2})\in E e y=(y_{1},y_{2})\in E.

a) Mostre que d é uma distância em E.

b) Mostre que se tem B_{r}(a)=B_{r}^{1}(a_{1})\times  B_{r}^{2}(a_{2}), \forall a=(a_{1},a_{2})\in  E, \forall r>0.

c) Mostre que se A_{1} e A_{2} são conjuntos abertos respectivamente em (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}), A_{1}\times A_{2} é um conjunto aberto em (E,d).

II

Considere a função f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R} definida por

f(x,y)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+1\quad \text{se\  }(x,y)\in\mathbb{Q}^{2} \\ \text{\ \ }1-2x-2y\quad \text{\ \ se\  }(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\backslash\mathbb{Q}^{2}\end{array}\right.

a) Estude esta função quanto a continuidade. Justifique as suas afirmações.

b) Determine os pontos em que existe alguma das derivadas parciais.

c) Mostre que em nenhum ponto existem as duas derivadas parciais.

d) Qual é a razão pela qual se conclue da alínea anterior que esta função não é diferenciável em nenhum ponto?

III

a) Determine uma função u(x,y,z) cuja diferencial seja igual a

e^{-xy}\left[ (y-xy^{2}+yz)\text{\ }dx+(x-x^{2}y+xz)\text{\ }dy-dz\right]

calculando um integral curvilíneo ao longo de uma “trajectória” de (0,0,0) para (x,y,z).

b) Calcule o volume da região limitada pelos cilindros hiperbólicos

xy=1,xy=9,xz=4,xz=36,yz=25 e yz=49.

Sugestão: Faça xy=u,xz=v,yz=w.

* * *

Meu Caderno de Apontamentos


Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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