Equação trigonométrica linear no seno e no co-seno 1 = m cos α + sin α redutível a uma quadrática

Nesta questão do Mathematics Stack Exchangeftiaronsem pede a resolução da equação

1=m\cos \alpha+\sin \alpha

Eis a tradução da minha resposta.

Como se explica nos comentários certas equações como a equação linear em \sin x e \cos x podem resolver-se por uma equação resolvente quadrática. Um dos métodos é escrever as funções \sin x e \cos x em termos da mesma função trigonométrica. Dado que todas as funções trigonométricas (directas) do ângulo simples se podem exprimir racionalmente em função de \tan do semi-ângulo, é adequada uma tal transformação para estas equações.

Visto que

\cos \alpha =\dfrac{1-\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}

e

\sin \alpha =\dfrac{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}

a equação

m\cos \alpha +\sin \alpha =1

é equivalente a

m-m\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}+2\tan \dfrac{\alpha }{2}=1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}.

Pode-se pôr x=\tan \dfrac{\alpha }{2} (\alpha =2\arctan x), e dessa forma obter a equação quadrática

\left( 1+m\right) x^{2}-2x+1-m=0.

As suas soluções são: x=\dfrac{1}{m+1}\left( -m+1\right) (se m\neq -1) ou x=1 (se m=-1), o que dá:

i) se m\neq -1,

\alpha =2\arctan x=2\arctan \dfrac{1-m}{m+1},

ii) se m=-1,

\alpha =2\arctan 1=\dfrac{\pi }{2}.

Uma técnica diferente para resolver uma equação linear em \sin \alpha e \cos \alpha é utilizar um ângulo auxiliar \varphi . Se se fizer m=\tan \varphi , a equação toma a forma

\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1

ou

\sin (\alpha +\varphi )=\cos \varphi =\dfrac{1}{\pm \sqrt{1+\tan ^{2}\varphi }}=\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}},

e obter

\alpha =\pm \arcsin \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}-\arctan m.

Dedução pormenorizada: de m\cos \alpha +\sin \alpha =1 e m=\tan \varphi , obtemos

\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1

ou

\sin \alpha +\dfrac{\sin \varphi }{\cos \varphi }\cdot \cos \alpha =1

\dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \varphi +\sin \varphi \cdot \cos \alpha }{\cos \varphi }=1

\dfrac{\sin \left( \alpha +\varphi \right) }{\cos \varphi }=1 \sin \left( \alpha +\varphi \right) =\cos \varphi .

A identidade

\cos \varphi =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}

pode obter-se como segue

\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi =1

\dfrac{\sin ^{2}\varphi }{\cos ^{2}\varphi }+1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }

\tan ^{2}\varphi +1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }

\cos ^{2}\varphi =\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }.

Portanto

\sin \left( \alpha +\varphi \right) =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}

\alpha +\varphi =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}\right)

(m=\tan \varphi , \varphi =\arctan m)

\alpha +\arctan m=\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right)

e finalmente

\alpha =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right) -\arctan m.

Nota bibliográfica: Estes métodos estão expostos no livro do 3.º ciclo do Ensino Liceal  de J. Calado  Compêndio de Trigonometria de 1967.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Equação trigonométrica linear no seno e no co-seno 1 = m cos α + sin α redutível a uma quadrática

  1. Bem interessante as duas soluções apresentadas. Outro modo é elevar ao quadrado a equação dada para obter a equação quadrática

    (m^2+1)\sin^2\alpha - 2\sin \alpha + 1 - m^2 = 0, de modo que \Delta = 4m^4 e

    \sin \alpha = \dfrac{1 - m^2}{1 + m^2} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arcsin \dfrac{1 - m^2}{1 + m^2}.

    Agora, temos a equivalência das soluções. Se \alpha = 2\arctan \dfrac{1 - m}{1 + m}, então

    \tan \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - m}{1 + m},

    de modo que

    \sin \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1-m}{\sqrt{2(1+m^2)}} e \cos \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1+m}{\sqrt{2(1+m^2)}}.

    Assim,

    \sin \alpha = 2\sin \dfrac{\alpha}{2}\cos \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - m^2}{1 + m^2}

    que é a solução obtida por mim.

    Aproveito a oportunidade, para convidá-lo a ver o recente post sobre a Matriz Mágica de Martin Gadner, cuja inspiração veio do seu blog. Fique a vontade para corrigir as expressões matemáticas acima caso encontre algum erro.

    Abraços!

    [Comentário editado] AT

    • Obrigado pela sua solução, extremamente curta. Agora só faltará provar, como exercício, que a sua solução e as minhas duas são equivalentes.

      Abraços!

      [Incorporada prova da equivalencia das soluções na versão editada acima] AT

  2. Filipe Oliveira diz:

    Caro Américo,

    permito-me usar esta local para lhe dar os parabéns pelo seu magnífico blog. Não o conhecia, encontrei-o através dos comentários que deixou no De Rerum Natura. Tem aqui uma bela colecção de problemas e curiosidades que, espero, lhe valham muitas visitas por parte de toda a comunidade matemática.

    Cumprimentos cordiais do
    Filipe Oliveira

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