Nesta questão do Mathematics Stack Exchange, ftiaronsem pede a resolução da equação
Eis a tradução da minha resposta.
Como se explica nos comentários certas equações como a equação linear em e
podem resolver-se por uma equação resolvente quadrática. Um dos métodos é escrever as funções
e
em termos da mesma função trigonométrica. Dado que todas as funções trigonométricas (directas) do ângulo simples se podem exprimir racionalmente em função de
do semi-ângulo, é adequada uma tal transformação para estas equações.
Visto que
e
a equação
é equivalente a
Pode-se pôr (
), e dessa forma obter a equação quadrática
As suas soluções são: (se
) ou
(se
), o que dá:
i) se ,
ii) se
Uma técnica diferente para resolver uma equação linear em e
é utilizar um ângulo auxiliar
. Se se fizer
, a equação toma a forma
ou
e obter
Dedução pormenorizada: de e
, obtemos
ou
.
A identidade
pode obter-se como segue
.
Portanto
(,
)
e finalmente
—
Nota bibliográfica: Estes métodos estão expostos no livro do 3.º ciclo do Ensino Liceal de J. Calado Compêndio de Trigonometria de 1967.
Bem interessante as duas soluções apresentadas. Outro modo é elevar ao quadrado a equação dada para obter a equação quadrática
Agora, temos a equivalência das soluções. Se
, então
de modo que
Assim,
que é a solução obtida por mim.
Aproveito a oportunidade, para convidá-lo a ver o recente post sobre a Matriz Mágica de Martin Gadner, cuja inspiração veio do seu blog. Fique a vontade para corrigir as expressões matemáticas acima caso encontre algum erro.
Abraços!
—
[Comentário editado] AT
Obrigado pela sua solução, extremamente curta. Agora só faltará provar, como exercício, que a sua solução e as minhas duas são equivalentes.
Abraços!
[Incorporada prova da equivalencia das soluções na versão editada acima] AT
Caro Américo,
permito-me usar esta local para lhe dar os parabéns pelo seu magnífico blog. Não o conhecia, encontrei-o através dos comentários que deixou no De Rerum Natura. Tem aqui uma bela colecção de problemas e curiosidades que, espero, lhe valham muitas visitas por parte de toda a comunidade matemática.
Cumprimentos cordiais do
Filipe Oliveira
Caro Professor Filipe Oliveira,
Muito obrigado pela apreciação que faz deste blogue! Que é feito por um interessado na Matemática.
Envio-lhe saudações coordiais
Américo