Funcões trigonométricas inversas em termos das funções exponencial e logarítmica

Já sabia que as funcões trigonométricas directas se podem exprimir em termos da função exponencial complexa. Mas só recentemente aprendi que, acrescentando-lhe o logaritmo, o mesmo acontece com as funções trigonométricas inversas, que têm uma representação fechada nas funções exponencial e logarítmica, como é o caso da função (que aparece, como exemplo, em What is a Closed-Form Number? de Timothy Y. Chow )

f(x)=\arccos x=-i\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right)

cuja verificação é simples. Começo por dar outra forma à função exponencial do 2.º membro:

e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}=\sqrt{x^{2}-1}

Então

\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right) =\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

pelo que

f(x)=-i\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

Calculo agora o \cos [f(x)]:

\cos [f(x)] =\cos \left( -i\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \right)

Da identidade bem conhecida

\cos \alpha =\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}

na forma

\cos i\alpha =\dfrac{e^{-\alpha }+e^{\alpha }}{2}

deduzimos sucessivamente:

\cos \left[ f(x)\right] =\dfrac{e^{-\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) }+e^{\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) }}{2}

=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}+x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\left( 1+\left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) ^{2}\right) \left( x-\sqrt{x^{2}-1}\right) }{\left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \left( x-\sqrt{x^{2}-1}\right) }=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x}{1}=x

pelo que efectivamente

f(x)=\arccos x

E como se exprime \arcsin x nestas funções? Atendendo a que \arcsin x=\dfrac{\pi }{2}-\arccos x e dado que \log (-1)=\log 1+i\pi =i\pi , obtemos

\arcsin x=-i\dfrac{\log (-1)}{2}+i\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right)

A relação trigonométrica

\arctan x=\arcsin \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

permite chegar a

\arctan x=-i\dfrac{\log (-1)}{2}+i\log\left( \dfrac{e^{\log x}}{e^{\dfrac{\log (x^{2}+1)}{2}}}+e^{\dfrac{\log \left( \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}-1\right) }{2}}\right)

Adenda: acrescento, como me foi sugerido, uma pequena referência às funções hiperbólicas, que também gozam da mesma propriedade. Por exemplo:

\sinh x=\dfrac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})

Vê-se na Wikipédia que a função hiperbólica inversa se exprime na função logarítmica:

\arg \sinh x=\log (x+\sqrt{x^{2}+1})

o que se pode verificar, calculando o seno hiperbólico de \arg \sinh x assim representado, chegando-se naturalmente a x:

\sinh (\arg \sinh x)=\sinh \left( \log (x+\sqrt{x^{2}+1})\right)

=\dfrac{1}{2}\left( e^{\log (x+\sqrt{x^{2}+1})}-\dfrac{1}{e^{\log (x+\sqrt{x^{2}+1})}}\right)

=\dfrac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+1}-\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)

=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) ^{2}-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right) =-\dfrac{1}{2}\left( -2x\right) =x

Da definição do co-seno hiperbólico

\cosh x=\dfrac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})

obtemos as identidades hiperbólicas

\cosh x+\sinh x=e^{x}

e

\cosh ^{2}x=\dfrac{1+\cosh 2x}{2}

Como

\sinh ^{2}x=\dfrac{-1+\cosh 2x}{2}

a soma dos quadrados vem

\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x

e a sua diferença

\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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