Prova de frequência de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 21/1/70

Ainda sobre Análise Infinitesimal I, do Prof. Dr. Gameiro Pais, transcrevo a minha prova de frequência de 21/1/70.

I

Considere as equações

z=y+\dfrac{\alpha}{2}x\qquad \text{e\qquad }z=-y+\dfrac{1}{2\alpha}x

a) O que representa, para cada valor do parâmetro \alpha, cada uma daquelas equações?

b) O que representa, para cada  \alpha, a intersecção dos 2 conjuntos referidos em a)? Porquê? Escreva na forma canónica as equações desse conjunto.

c) Mostre que a função que faz corresponder a cada \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2} a solução z\geq 0 do sistema formado pelas duas equações iniciais admite a expressão

z=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}}

d) Calcule \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} num ponto (x,y)\neq (0,0)

e) O que pode dizer sobre f_{x}^{\prime }(0,0) e f_{y}^{\prime }(0,0) ?

f) Identifique o gráfico desta função.

g) O que significam os conjuntos referidos em b) em relação ao gráfico daquela função z=f(x,y) ?

II

A função de \mathbb{R} para \mathbb{R}^{3} definida por

x=e^{\lambda }\cdot \text{sen }\lambda \text{, }y=e^{\lambda }\cdot \cos\lambda \text{, }z=e^{\lambda }

estabelece homeomorfias entre os intervalos fechados limitados \left[ a,b\right]\in\mathbb{R} e subconjuntos de \mathbb{R}^{3}.

a) Determine o vector normal principal \overline{n} unitário e a curvatura num ponto genérico.

b) Estabeleça uma expressão da curvatura tomando para variável independente o parâmetro s, abcissa curvilínea, e tomando para origem de contagem de s o ponto de cota z=1 e para sentido positivo de contagem dos arcos o que corresponde às cotas crescentes.

c) Como explica o facto de a expressão da curvatura obtida em b) poder tomar valores negativos para s\leq -\sqrt{3} ?

III

Designe F o espaço vectorial das funções que admitem 1.ª derivada contínua no seu domínio I=\left[ 0,1\right] sujeitas à condição f(0)=0 (com as definições habituais da adição de funções e de multiplicação de um número real por uma função) e seja \mu a norma definida neste espaço por

\mu (f)=\text{M\'{a}x}\left\{ \left\vert f(x)\right\vert ,x\in I\right\}\text{.}

a) Mostre que a expressão

\beta (f)=\text{M\'{a}x}\left\{\left\vert f(x)\right\vert ,\left\vert f^{\prime }(x)\right\vert ,x\in I\right\}

também define uma norma em F.

b) Diga se é \beta\sim\mu e justifique a afirmação.

O meu exame final de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 29/6/70

Transcrevo o enunciado do exame final, de 29/6/70, da disciplina anual Análise Infinitesimal I, leccionada no IST, em 69/70, no 2.º ano, nos cursos de engenharia, pelo Prof. Dr. Gameiro Pais.

I

Sejam (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}) dois espaços métricos e defina-se em E_{1}\times  E_{2}=E

d(x,y)=\text{M\'{a}x}\left\{ d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\right\}

para todos x=(x_{1},x_{2})\in E e y=(y_{1},y_{2})\in E.

a) Mostre que d é uma distância em E.

b) Mostre que se tem B_{r}(a)=B_{r}^{1}(a_{1})\times  B_{r}^{2}(a_{2}), \forall a=(a_{1},a_{2})\in  E, \forall r>0.

c) Mostre que se A_{1} e A_{2} são conjuntos abertos respectivamente em (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}), A_{1}\times A_{2} é um conjunto aberto em (E,d).

II

Considere a função f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R} definida por

f(x,y)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+1\quad \text{se\  }(x,y)\in\mathbb{Q}^{2} \\ \text{\ \ }1-2x-2y\quad \text{\ \ se\  }(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\backslash\mathbb{Q}^{2}\end{array}\right.

a) Estude esta função quanto a continuidade. Justifique as suas afirmações.

b) Determine os pontos em que existe alguma das derivadas parciais.

c) Mostre que em nenhum ponto existem as duas derivadas parciais.

d) Qual é a razão pela qual se conclue da alínea anterior que esta função não é diferenciável em nenhum ponto?

III

a) Determine uma função u(x,y,z) cuja diferencial seja igual a

e^{-xy}\left[ (y-xy^{2}+yz)\text{\ }dx+(x-x^{2}y+xz)\text{\ }dy-dz\right]

calculando um integral curvilíneo ao longo de uma “trajectória” de (0,0,0) para (x,y,z).

b) Calcule o volume da região limitada pelos cilindros hiperbólicos

xy=1,xy=9,xz=4,xz=36,yz=25 e yz=49.

Sugestão: Faça xy=u,xz=v,yz=w.

* * *

Meu Caderno de Apontamentos


Números harmónicos — racionais mas não inteiros

No resultado do cálculo do somatório apresentado na última entrada apareceram números harmónicos. O leitor Filipe Oliveira lançou o desafio de mostrar que nenhum número harmónico de ordem superior a a 1 é um número inteiro. O seu nome deriva da conhecida série harmónica divergente

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}+\cdots

Concretamente o termo de ordem n da sucessão das somas parciais  desta série é conhecido por enésimo número harmónico, sendo designado habitualmente por

H_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}

Uma das formas de provar que a série é divergente, consiste em mostrar que a soma de k termos

\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{2k-1}+\dfrac{1}{2k}

é minorada por \dfrac{1}{2}, bastando reparar que cada um destes termos é igual ou superior a \dfrac{1}{2k}

\underset{k\text{ termos}}{\underbrace{\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots+\dfrac{1}{2k-1}+\dfrac{1}{2k}}}\geq \underset{k\text{ termos}}{\underbrace{\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{2k}+\cdots +\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{2k}}}=k\dfrac{1}{2k}=\dfrac{1}{2}

Voltando à natureza aritmética dos números harmónicos, publiquei uma demonstração, neste comentário, que aqui destaco, aplicando uma propriedade da divisão do menor múltiplo comum dos inteiros entre 1 e n, sucessivamente por cada um destes inteiros superiores a 1. Como se sabe a factorização do inteiro n em números primos é única, sendo da forma

n=p^{e_{p}(n)}\times q^{e_{q}(n)}\times\cdots\times r^{e_{r}(n)}

em que p,q,\ldots ,r são números primos e e_{p}(n), e_{q}(n),\ldots,e_{r}(n) os respectivos expoentes.

Proposição: Seja

H_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}\qquad (\ast )

o enésimo número harmónico. Para n>1, H_{n} nunca é um número inteiro.

Demonstração: Admitamos que existia um inteiro positivo n para o qual o correspondente H_{n} fosse inteiro. Designemos por d_{n} o menor múltiplo comum dos inteiros compreendidos entre 1 e n. Observemos que d_{n} é um inteiro par. Multiplicando ambos os membros de (\ast ) por d_{n}, obtemos

d_{n}H_{n}=d_{n}+\dfrac{d_{n}}{2}+\dfrac{d_{n}}{3}+\cdots +\dfrac{d_{n}}{n}\qquad (\ast \ast )

O número d_{n}H_{n} seria um número par. Vamos agora mostrar que um dos termos \dfrac{d_{n}}{2},\dfrac{d_{n}}{3},\cdots ,\dfrac{d_{n}}{k},\cdots ,\dfrac{d_{n}}{n} é ímpar e todos os restantes pares. Seja 2^{e_{2}(k)} a maior potência de 2 que divide 2\leq k\leq n.

Consideremos o maior destes expoentes M=\max \{e_{2}(2),e_{2}(3),\ldots,e_{2}(n)\}. O número 2^{M} é a maior potência de 2 que divide d_{n}. Existe um e um só inteiro q compreendido entre 2 e n tal que e_{2}(q)=M, o que implica que \dfrac{d_{n}}{q}=\dfrac{d_{n}}{2^{M}} é um inteiro ímpar e todos os outros números \dfrac{d_{n}}{r}, com r compreendido entre 2 e n, mas diferente de q=2^{M}, são pares. Deste facto resulta que o 2.º membro de (\ast \ast ) é um número ímpar, ao contrário do 1.º que seria par. Esta contradição é o resultado de termos admitido que H_{n} era inteiro.

Logo, H_{n} não pode ser inteiro (para n superior a 1).

Claro que quanto a serem racionais decorre simplesmente do facto de estarmos a somar um número finito de parcelas racionais, em cada uma das vezes. Termino com um exemplo numérico do argumento utilizado na demonstração, já antes também publicado, como comentário.

Exemplo numérico:

H_{6}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}

d_{6}=\text{mmc}(1,2,3,4,5,6)=2^{2}\times 3\times 5=60

d_{6}H_{6}=60H_{6}=60+\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{2}+\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{3}+\left( \dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{4}\right) + +\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{5} +\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{6}=147

Expoentes de 2 na factorização dos denominadores em números primos:

e_{2}(2)=e_{2}(6)=1, e_{2}(3)=e_{2}(5)=0 , e_{2}(4)=2

O maior destes expoentes é

M=\max \{e_{2}(2),e_{2}(3),e_{2}(4),e_{2}(5),e_{2}(6)\}=2

Apenas a parcela

\dfrac{d_{6}}{q}=\dfrac{d_{6}}{2^{M}}=\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{4}=15

é ímpar; as restantes são pares.

Cálculo de um somatório de uma fracção racional do índice

Mais uma vez trago para aqui a minha resposta (tradução) a uma pergunta (autor Slowsolver) no Mathematics Stack Exchange, sobre o cálculo do seguinte somatório:

\displaystyle\begin{aligned}S_{n}&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n-k+1}{(n+1)(n+2)(n-k+2)}\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n-k+1}{n-k+2}\quad (n+1)(n+2)\text{ independente de }k\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}\dfrac{m-1}{m}\qquad\text{substitui\c{c}\~{a}o }m=n-k+2\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}\left( 1-\dfrac{1}{m}\right)\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}1\right)-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}\dfrac{1}{m}\\&=\dfrac{n+2-2+1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\left( \sum_{i=1}^{n+2}\dfrac{1}{i}\right) +\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\&=\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{H_{n+2}}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\&=\dfrac{n+2-H_{n+2}}{(n+1)(n+2)}\end{aligned}

em que

H_{n+2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+2}\dfrac{1}{i}.

Notas:

  • H_n é o enésimo  número harmónico.
  • Na formatação utilizei os comandos \begin{aligned} e  \end{aligned} do  \LaTeX, como verá se passar pelas fórmulas com o rato.

Equação trigonométrica linear no seno e no co-seno 1 = m cos α + sin α redutível a uma quadrática

Nesta questão do Mathematics Stack Exchangeftiaronsem pede a resolução da equação

1=m\cos \alpha+\sin \alpha

Eis a tradução da minha resposta.

Como se explica nos comentários certas equações como a equação linear em \sin x e \cos x podem resolver-se por uma equação resolvente quadrática. Um dos métodos é escrever as funções \sin x e \cos x em termos da mesma função trigonométrica. Dado que todas as funções trigonométricas (directas) do ângulo simples se podem exprimir racionalmente em função de \tan do semi-ângulo, é adequada uma tal transformação para estas equações.

Visto que

\cos \alpha =\dfrac{1-\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}

e

\sin \alpha =\dfrac{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}

a equação

m\cos \alpha +\sin \alpha =1

é equivalente a

m-m\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}+2\tan \dfrac{\alpha }{2}=1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}.

Pode-se pôr x=\tan \dfrac{\alpha }{2} (\alpha =2\arctan x), e dessa forma obter a equação quadrática

\left( 1+m\right) x^{2}-2x+1-m=0.

As suas soluções são: x=\dfrac{1}{m+1}\left( -m+1\right) (se m\neq -1) ou x=1 (se m=-1), o que dá:

i) se m\neq -1,

\alpha =2\arctan x=2\arctan \dfrac{1-m}{m+1},

ii) se m=-1,

\alpha =2\arctan 1=\dfrac{\pi }{2}.

Uma técnica diferente para resolver uma equação linear em \sin \alpha e \cos \alpha é utilizar um ângulo auxiliar \varphi . Se se fizer m=\tan \varphi , a equação toma a forma

\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1

ou

\sin (\alpha +\varphi )=\cos \varphi =\dfrac{1}{\pm \sqrt{1+\tan ^{2}\varphi }}=\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}},

e obter

\alpha =\pm \arcsin \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}-\arctan m.

Dedução pormenorizada: de m\cos \alpha +\sin \alpha =1 e m=\tan \varphi , obtemos

\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1

ou

\sin \alpha +\dfrac{\sin \varphi }{\cos \varphi }\cdot \cos \alpha =1

\dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \varphi +\sin \varphi \cdot \cos \alpha }{\cos \varphi }=1

\dfrac{\sin \left( \alpha +\varphi \right) }{\cos \varphi }=1 \sin \left( \alpha +\varphi \right) =\cos \varphi .

A identidade

\cos \varphi =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}

pode obter-se como segue

\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi =1

\dfrac{\sin ^{2}\varphi }{\cos ^{2}\varphi }+1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }

\tan ^{2}\varphi +1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }

\cos ^{2}\varphi =\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }.

Portanto

\sin \left( \alpha +\varphi \right) =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}

\alpha +\varphi =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}\right)

(m=\tan \varphi , \varphi =\arctan m)

\alpha +\arctan m=\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right)

e finalmente

\alpha =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right) -\arctan m.

Nota bibliográfica: Estes métodos estão expostos no livro do 3.º ciclo do Ensino Liceal  de J. Calado  Compêndio de Trigonometria de 1967.