Três identidades trigonométricas e um integral

Justifique as seguintes identidades trigonométricas:

Notação usada para facilidade de escrita aqui (em LaTeX): \sec xsecante de x, \tan xtangente de x, \cos x — co-seno de x e \sin xseno de x.

1.

\sec x+\tan x=\dfrac{1+\sec x+\tan x}{1+\sec x-\tan x}

2.

\dfrac{1+\tan \dfrac{x}{2}}{1-\tan \dfrac{x}{2}}=\dfrac{1+\cos x+\sin x}{1+\cos x-\sin x}

3.

\dfrac{1+\cos x+\sin x}{1+\cos x-\sin x}=\sec x+\tan x

 

Nota: estas identidades podem usar-se no cálculo do  integral

 

\displaystyle\int \sec x\; dx=\ln \left\vert \sec x+\tan x\right\vert .

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Três identidades trigonométricas e um integral

  1. Com relação a essas identidades, escrevi um post sobre como Isaac Barrow calculou a integral da secante, em que aparece uma delas, veja o link

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/05/isaac-barrow-e-integral-da-secante.html

    Obrigado pela resolução do problema 5), colocarei seu nome na lista dos leitores que enviaram soluções dos problemas (Parte 2). Vi que você já encontrou o meu e-mail que é linnux2001@gmail.com. Eu procurei aqui no seu blog e não achei o seu e-mail, poderia colocar uma área de contato.

    Abraços!!

    • Prof. Paulo Sérgio

      Obrigado pelo seu comentário e link onde calcula e enquadra historicamente o integral da secante, de maneira muito didática.

      Sobre o cálculo do mesmo integral pode ver também a minha e outras respostas no Mathematics Stack Exchange à questão Ways to evaluate ∫ sec θ dθ de Mike Spivey.

      O meu e-mail aparece na página “Sobre”, mas voltei-o a colocar também onde já esteve, no cimo da barra lateral.

      Vou ver se envio mais soluções para outro(s) problema(s) da Parte 2.

      Abraços!

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