Resolva a seguinte equação diferencial
Resolução:
Vou usar a definição seguinte: a transformada de Fourier da função é o integral
Notação: represento a transformada pela mesma letra da função, mas maíuscula. Sabida a transformada de Fourier de uma função
, a transformada inversa permite obter a função:
Seja . A sua transformada de Fourier
é igual a
, como vamos mostrar:
.
A transformada de Fourier da derivada da uma função é obtida integrando por partes
.
Se tender para
quando
, resulta
,
em que é a transformada de Fourier de
. No final vamos verificar que a solução da equação verifica esta condição quanto a estes limites.
Aplicando a transformada de Fourier a ambos os membros da equação diferencial, temos
,
em que é a transformada de Fourier de
. Logo
pelo que
.
Dado que (quando
) este integral é calculável pelo método dos resíduos. Para
, consideramos um contorno fechado
, percorrido no sentido positivo, constituído pelo intervalo
e pela semi-circunferência
centrada na origem e de raio
.
Faz-se tender para infinito e calcula-se o resíduo em
:
.
Fazendo
(quando
),
pelo que
.
Para , fazemos a integração ao longo de um contorno fechado
, percorrido no sentido positivo, constituído pelo intervalo
e pela semi-circunferência negativa
centrada na origem e de raio
. Como
calculando o resíduo em , vem
.
Vemos que
Combinando os dois resultados obtemos a solução
Então, vemos que
o que justifica o passo acima referido.
Oi Américo, gostei do post.Sabia que dava pra resolver EDO por transformada de laplace, mas ainda não tinha visto com a transfomada de fourier, os outros tipos de transformadas(Merlin,Hilbert,Wavelet…) resolvem também uma EDO ? E mais uma dúvida por que você dividiu em dois casos pra x>0 e x<0 e depois juntou a solução das mesmas? Grato desde já.
Obrigado, caro Bazinga,
Desconheço se podem ou não serem utilizadas as transformadas que indica, na resolução desta equação diferencial.
Quanto à separação dos casos x positivo e x negativo, isso resulta do teorema dos resíduos, em que o contorno de integração deve ser percorrido no sentido positivo, isto é, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
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Republicação temporária deste post já antigo, quase do início do bogue.
Obrigado pela resposta, mas me surgiu outra dúvida por que a solução apresentada não possui as constantes, já que não temos um p.v.i ?
Bazinga, as condições de contorno (se assim podemos chamá-las neste caso) estão no trecho em que se toma a transformada de Fourier da derivada da função. Neste passo analisa-se o comportamento da função*exp(-iλx) quando seu argumento tende a mais ou menos infinito (aplicação do teorema fundamental do cálculo no infinito), neste problema assume-se que a função tende a zero nesse limite; de fato, pode-se demonstrar que uma função multiplicada por uma exponencial de argumento negativo tende globalmente a zero quando o argumento tende ao infinito. O que é vantajoso visto que a maioria dos problemas em física lida com funções finitas, isto é funções que tendem à uma constante no infinito (Ex: potencial, campo elétrico/magnético etc).
Oi Americo Tavares,
Apenas completando a minha mensagem anterior, o DOI code do meu artigo é o seguinte: 10.14321/realanalexch.44.2.0445
Fabio M. S. Lima