Benoît Mandelbrot — Dimensão de homotetia

O matemático francês Benoît Mandelbrot, conhecidíssimo pelo conjunto com o seu nome faleceu recentemente  (notícia do New York Times).  A  Gradiva publicou, em 1991, o seu livro Objectos Fractais, cuja capa reproduzo e no qual me baseio para expor o conceito de dimensão de homotetia.

( Notícia do DN de 18-10-2010).

 


Estamos habituados a falar de dimensão 2, 1 ou 0 quando nos referimos a, respectivamente, uma superfície,  uma linha ou um ponto. E generaliza-se para a dimensão n, quando nos referimos, por exemplo  a referenciais com n coordenadas. Mas o que é uma dimensão não inteira, como \log_{3}4, que é a dimensão da curva de von Koch? A dimensão de homotetia D é

D=\dfrac{\log N}{\log \dfrac{1}{r}},

(Koch snowflake, Wikipedia)

em que r é a razão de homotetia e N é o número de partes em que o todo é decomponível. No caso da curva de von Koch, substitui-se o terço central de  cada lado de um triângulo equilátero de lado unitário  por dois segmentos de recta que constituem com esse terço outro triângulo equilátero. A razão de homotetia entre os triângulos pequenos e o inicial  é  r=1/3. Cada lado do triângulo inicial serve para obter N=4 segmentos de recta de comprimento 1/3. De seguida repete-se o mesmo procedimento para cada segmento de recta. A sua dimensão de homotetia é, como afirmado,

D=\dfrac{\log N}{\log \dfrac{1}{r}}=\dfrac{\log 4}{\log 3}=\log_{3}4\approx 1,26.

Uma característica do floco de von Koch é o de não possuir tangente.  «Qualquer que seja a escala», há «pormenores que, embora não possam ser vistos, nos impedem por completo de fixar uma tangente  a um ponto do contorno», escreve Mandelbrot.

Link para um vídeo sobre o conjunto de Mandelbrot.

Adendas de 18-10-2010: acrecentada cópia da notícia do DN.

Link para a Palestra proferida por Benoît Mandelbrot, em Madrid, no ICM2006,   The nature of roughness in mathematics, science and art.

Da nota Rest in Piece Benny escrita pelo meu amigo matemático profissional Nelson Faustino, no Facebook:

« Tomei o meu primeiro contacto com o trabalho de “Benny” (como lhe costumava chamar) em 1999 quando comprei o livro ‘Caos: A construção de uma nova ciência‘ de James Gleick (jornalista do New York Times)

Para além da psicóloga que me acompanhou do 10º-12º ano, foi o trabalho de Benny que me convenceu em ingressar em Matemática no ano de 2000/2001. Nesse mesmo ano, inspirei-me nos fractais para concorrer ao prémio Bento de Jesus Caraça com o trabalho ‘Fractais na Natureza’. »