Compilação de alguns cálculos financeiros

Para facilitar a consulta das entradas já publicadas na categoria de Cálculo Financeiro agrupo-as aqui, por ordem cronológica.

1 – Base dos logaritmos naturais e juros

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A base e dos logaritmos naturais \log x=\log_e (x) aparece no cálculo financeiro no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta.

Vou começar pelo caso discreto.

Admitamos que num determinado contrato se aplica, em cada trimestre, uma taxa de juro i composta (trimestralmente, isto é 4 vezes por ano). A taxa nominal anual i_{N} é então

i_{N}=4\times i,

pelo que

i=\dfrac{i_{N}}{4}.

Se o capital investido no início for P, os montantes futuros F ao fim dos vários períodos trimestrais serão:

– 1º trimestre: F_1=P\left (1+i\right )

– 2º trimestre: F_2=P\left (1+i\right )^2

– 3º trimestre: F_3=P\left (1+i\right )^3

\ldots

– trimestre n: F_n=P\left (1+i\right )^n=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{4}\right )^n.

Se em vez de 4 períodos de capitalização, houver m, passaremos a ter ao fim desses m períodos, o montante

F_m=P\left (1+i\right )^m=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m.

Por isso

F_m-P=P\left (\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1\right )

ou

\dfrac{F_m-P}{P}=\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1,

o que traduz a taxa efectiva i_E do contrato, ou seja a relação entre os juros durante um ano e o capital P, conhecido por principal.

Exemplos numéricos: Se a taxa nominal do contrato for de 12\% ao ano composta

  • semestralmente, a taxa efectiva será i_E=\left (1+\dfrac{0,12}{2}\right )^2-1\approx 12,36\%
  • trimestralmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{4}\right )^4-1\approx 12,55\%
  • mensalmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{12}\right )^{12}-1\approx 12,68\%
  • ao dia, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{365}\right )^{365}-1 \approx 12,75\%.

E o que acontece se a taxa for composta em infinitos períodos? É a chamada composição contínua. Corresponde, neste exemplo, ao limite de

i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1

quando m tende para +\infty.

Como é bem sabido do início da Análise,

\displaystyle\lim_{m\to +\infty}\left (1+\dfrac{1}{m}\right )^m=e.

Por este motivo tem-se, no exemplo

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{\dfrac{m}{0,12}}\right )^{0,12}-1 =e^{0,12}-1\approx 12,75\%.

No caso geral da taxa i_N=r (para simplificar a notação que se segue) será

Em resumo, na composição contínua a relação entre as taxas de juro nominal r e efectiva i_{E,\infty} é dada por

i_E =\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1,

donde

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{\dfrac{m}{r}}\right )^{r}-1=e^r-1.

i_{E,\infty}=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E =e^{r}-1.

ADENDAS DE 13-6-2008 E 20-8-2008: pode ver nesta entrada um exemplo de aplicação de

i_E =\left (1+\dfrac{i_N}{m}\right )^{m}-1

bem como nesta.

2 – Logaritmos nos cálculos financeiros

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Suponha o leitor que pretende determinar a taxa nominal anual que composta mensalmente origina uma taxa efectiva de 19,56\%. A relação entre a taxa efectiva (i_E) e a nominal (i_N) é dada pela conhecida igualdade

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1,

em que m é o número de períodos de capitalização.

Numericamente será:

0,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}-1

1,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}

Aplicando logaritmos a ambos os membros desta igualdade, teremos sucessivamente

\ln 1,1956=\ln \displaystyle\left(\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}\right)

\ln 1,1956=12\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right)

0,014887=\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) .

Agora calcula-se o anti-logaritmo:

e^{0,014887}=1+\dfrac{i_N}{12}

e como e^{0,014887}=1,014999,

1,014999=\displaystyle 1+\dfrac{i_N}{12}

ou

0,014999=\dfrac{i_N}{12}

0,014999\times 12=i_N

0,0179988=i_N

A taxa nominal anual é pois igual a 18\%.

Sobre o comportamento de

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1

quando m tende para infinito, veja esta minha entrada.

3 – Série uniforme de pagamentos: Formação de capital

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Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de n pagamentos constantes A à taxa de juro i e que pretende saber qual a relação entre o capital F, no fim dos n períodos, e o valor de A.

O primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos. O segundo, durante n-2 e, em geral, o do período k, durante n-k períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período k é

F_k=A(1+i)^{n-k}.

Se somarmos todos os valores futuros F_k, para k=1,2,\dots,n, atendendo à fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de razão c e primeiro termo u_1, que é igual a

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1},

em que, neste caso, u_1=A (ver a seguir \displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}) e c=1+i, obtém-se

F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}.

Se exprimirmos A em função de F, virá

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}.

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos A são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro i permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de 5\%, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 10\; 000 unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de 10\%?

Neste caso devemos determinar A, conhecida a taxa de juro i=5\% e o valor futuro F=10\; 000, para n=10:

A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05 unidades monetárias.

Para n=20

A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43 unidades monetárias.

Se i=10\%, tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, 627,45 e 174,60 unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de n anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for r, a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a e^r-1, pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}.

P. S. corrigido erro num somatório. Usado c para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa r do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação F/A em função da taxa de juro i para n=10 períodos

E como determinar i conhecidos A,F e n? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

4 – Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

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Suponha que tem a seguinte relação

y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}

e que pretende calcular x para um dado valor de y. Por exemplo y=15.
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.

No caso geral tem-se uma equação não linear

f(x)=0

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais x_{1} e x_{2} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=2,3,\ldots ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right) e por \left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right) tem o coeficiente angular

m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

e a sua equação é

y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}.

Cruza o eixo dos x no ponto de abcissa x_{3}

x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }

Se tomarmos agora a recta que passa pelos pontos \left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right) e \left( x_{3},y_{3}=f\left( x_{3}\right) \right) , chegamos à intersecção com o eixo dos x na abcissa x_{4} dada por

x_{4}=x_{3}-f\left( x_{3}\right) \times\dfrac{x_{3}-x_{2}}{f\left( x_{3}\right) -f\left( x_{2}\right) }.

Em geral, para o inteiro k=2,3,4\ldots obtemos, por este método, a aproximação

x_{k+1}=x_{k}-f\left( x_{k}\right) \times\dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{f\left( x_{k}\right) -f\left( x_{k-1}\right) }.

Para o exemplo inicial, se escolhermos x_{1}=0,05 e x_{2}=0,15, obtemos sucessivamente

x_{3}=0,081350791,

x_{4}=0,086390197,

x_{5}=0,087335225,

x_{6}=0,087320486,

x_{7}=0,087320522,\ldots .

A função f(x) toma os valores f(x_{5})=0,001051291, f(x_{6})=-2,57456\times 10^{-6}, f(x_{7})=-9,9611\times 10^{-11}. O zero da função é então cerca de 0,08732.

Este exemplo foi escolhido para calcular numericamente a taxa i a que devem ser depositadas anualmente, durante dez anos, quantias numa conta, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 15 anuidades.

Dada a fórmula aplicável a esta série uniforme

\dfrac{F}{A}=\dfrac{\left( 1+i\right) ^{10}-1}{10}=15,

a taxa de juro deve ser 8,732\%.

ADITAMENTO DE 31-12-2008: pode ver nesta entrada outro método de determinação da raiz de uma equação não linear: o de Newton.

5 – Outro exercício de cálculo financeiro: série uniforme e recuperação de capital

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Foram emprestadas 100 000 unidades monetárias à taxa de juro (nominal anual) de 7% capitalizada semestralmente. O reembolso será feito semestralmente, em capital e juros, durante 30 anos.

Qual a parte da dívida que falta pagar ao fim de 10 anos?

No caso geral, teremos de calcular o valor dos pagamentos constantes A dado o valor do capital principal P.

Durante n períodos, neste caso semestrais, são pagos A unidades monetárias em cada. O valor A do período k equivale ao valor presente de \dfrac{A}{(1+i)^k} unidades monetárias, em que i é a taxa de juro em cada período de capitalização. Se somarmos em k, de 1 a n, obtemos o somatório

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k}.

Como noutros casos anteriores de cálculo financeiro já expostos, deparamo-nos com a soma de uma progressão geométrica, neste caso de razão c=\dfrac{1}{1+i} e primeiro termo u_1=\dfrac{A}{1+i}:

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}=\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^n-1}{ \dfrac{1}{1+i} -1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}

Esta soma há-de naturalmente ser igual a P:

P=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}

donde

A=P\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}

Regressando ao exemplo, o reembolso é feito em n=60 semestres, sendo a taxa i=7/2\% e P=100\;000, pelo que

A=100\;000\dfrac{0,035(1,035)^{60}}{(1,035)^{60}-1}=4009 unidades monetárias.

O valor do empréstimo ao fim de 20 semestres é

100\;000\times(1+0,035)^{20}=198\;979 unidades monetárias

As rendas pagas ao fim de 20 semestres correspondem ao valor futuro F da série de pagamentos semestrais A , no fim do período 20. Como vimos na formação de capital

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}

ou

F=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}

ou seja, neste caso

F=4009\times\dfrac{1,035^{20}-1}{0,035}=113\;373 unidades monetárias.

A dívida que falta pagar ao fim de 10 anos é então

198\;979-113\;373=85\;605 unidades monetárias.

6 – Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

Traduzo e adapto esta minha entrada em inglês onde apresentei um problema transcrito de um post do Professor Gowers, bem como dois dos meus comentários.

O Professor Gowers usa um método contínuo para modelar o seguinte problema discreto apresentado num seu post recente.

Suponha para simplificar que a taxa de juro de um empréstimo contra hipoteca é de 5% e que essa taxa permanece constante. Se o empréstimo for de £50000 e pagar £500 por mês, indique qual o tempo aproximado que demoro a liquidá-lo?

Texto original:

Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage?

 

Eis os meus dois comentários:

1. “Apresento uma proposta de resolução directa do seu problema discreto de pagamento de um empréstimo contra hipoteca. Esta resolução, mesmo que esteja correcta, claro que é de longe muito menos instructiva que o seu argumento!
Em geral, dado o principal P, temos de determinar o valor dos pagamentos constantes A durante n períodos mensais. O valor de A no período k é equivalente ao valor actual A/\left( 1+i\right) ^{k} unidades monetárias, em que i é a taxa de juro em cada período de capitalização. Somando em k, desde 1 a n, obtemos a soma

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}

Ora agora temos de somar uma progressão geométrica de razão r=1/(1+i) e primeiro termo u_{1}=A/\left( 1+i\right)

\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P

ou

A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}

No problema dado, os pagamentos ocorrerão durante n meses, com i=5/12\%=\dfrac{5}{1200} e P=50\,000. Assim

A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500

ou

\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1

Resolvendo em ordem a n, obtemos

n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129,63 meses (10,802 anos)

e, como provou

20\ln 2\approx 13,863>10,802.

2. “Permita-me que acrescente só mais uma interpretação da minha parte: a taxa de juro contínua efectiva pode obter-se da taxa nominal de 5%, composta m vezes ao ano como segue:

\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1 =e^{0,05}-1\approx 5,127\%

(que a sua fórmula e^{\alpha }=1,05 aproxima para \alpha =0,05), e em geral, no caso de uma taxa de juro nominal r, como

i_{E\;(m\rightarrow \infty )}=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m}-1 =\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.

Do ponto de vista de um problema puramente matemático o modelo que discute é muito mais interessante e de maior valor.”

7 – Anuidade, amortização e juros

Uma empresa negociou um contrato de locação financeira no valor de 180000 euros e anuidade constante durante um prazo de 10 anos, à taxa de juro anual r=8%.

Determine:

  1. A anuidade (ou renda, anual neste caso) R contratada.
  2. Em função do período anual 1\leq n\leq 10
  • a) o valor da amortização A_n;
  • b) o montante dos juros J_n.

(Adaptado e simplificado de SNC e as PME — Casos Práticos, p.165-167, de José Farinha e Domingos Cascais, Texto Editores, 2010. )


Sugestão: veja e escolha na categoria “Cálculo Financeiro” a situação que mais se aproxima deste caso.

8 – Um problema de juros compostos de uma série não uniforme da Universidade de Purdue

Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.

« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de i\%, composta anualmente, de maneira a poder levantar-se 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares no final do ano 1,2,3,\ldots , perpetuamente? (Para i=10, a resposta é 2310 dólares.) »

Transcrição do original

What is the smallest amount that may be invested at interest rate i\%, compounded annually, in order that we may withdraw 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dollars at the end of the 1st, 2nd, 3rd, … year, in perpetuity? (For i=10, the answer is 2310 dollars.)

Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}.

Proposição: se -1<x<1, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n} converge para \dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}.

Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para |x|<1:

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\dfrac{x}{1-x}\qquad (1)

e diferenciemos ambos os membros \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\left( 1-x\right) ^{-2}. Agora multipliquemo-los por x: x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}=x\left( 1-x\right) ^{-2}. Diferenciando novamente, obtemos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}=\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) ^{-3}. Multipliquemos ambos os membros por x e completaremos a demonstração da Proposição:

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1} =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}=\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}\qquad (2)

Pondo x=1/c obtemos na forma alternativa, válida para |c|>1,

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^2}{c^n} =\dfrac{c(c+1)}{(c-1)^{3}}\qquad (3)

Designemos por P o valor actual total da série de levantamentos 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares, no fim do ano 1, 2, 3,\ldots . O levantamento n^{2} no final do ano n contribui para P no valor de n^{2}/(1+i/100)^{n}, em que i é a taxa de juro (em percentagem) composta anualmente. Sumando todas as contribuições desde n=1 a \infty P (no princípio do ano 1), que é o montante A mais pequeno que é necessário investir-se para equilibrar (A-P=0) os levantamentos como enunciado no problema: P=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}/\left( 1+i/100\right) ^{n}.

Usando (3) com c=1+i/100>1 obtemos o valor actual P(i)=A(i), em dólares, em função da taxa de juro i em percentagem:

A(i)=P(i)=\dfrac{\left( 1+i/100\right) (2+i/100)}{(i/100)^{3}}\qquad (4)

Para i=10, confirmamos que A(10)=P(10)=2310.

Cópia do Texto original

* * *

Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cáalculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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