Um integral de contorno que aparece num artigo célebre de Riemann da Teoria dos Números

(Foto da Wikipédia)

Na memória de Bernhard Riemann «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Grösse» [Do número de primos inferiores a uma determinada grandeza], de 1859, — célebre nomeadamente por nela ser formulada pela primeira vez o que hoje se designa por Hipótese de Riemann –, logo no seu início o grande matemático  escreve:

«Se considerarmos o integral [complexo]:

\displaystyle\int\dfrac{(-x)^{s-1}\,dx}{e^{x}-1}

ao longo da fronteira  de uma região  que contém o valor 0 mas  nenhuma outra singularidade da função integranda, percorrida, no sentido positivo, de +\infty a +\infty, resulta facilmente que é igual a

(e^{-\pi si}-e^{\pi si})\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty }\dfrac{x^{s-1}\,dx}{e^{x}-1}

desde que na função multívoca (-x)^{s-1}=e^{(s-1)\log (-x)} o logaritmo de -x seja  definido de maneira a ser real para x negativo. »

O segundo integral é calculado ao longo do semi-eixo real positivo, s é um parâmetro complexo nos dois integrais. Eis o que pretende ser um esquema do contorno de integração , no plano complexo, do primeiro integral

Extracto do manuscrito de Riemann com a passagem do texto acima traduzida:

(recorte do fac-simile de Bernhard Riemann, disponível no site do Clay Mathematics Institute)

Referências

H. M. Edwards, Rieman’s Zeta Function, Dover Publications, New York, 1974

E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function, Oxford University Press, 2nd ed. revised by D. Heath-Brown, reprinted 1999

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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