Série de termo geral n²/xⁿ :: Series of general term n²/xⁿ

Demostre que para x>1, x\in\mathbb{R} a função f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}} é convergente e determine, justificando, a sua expressão analítica, na forma de fracção racional f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}.

Sugestão: utilize a série geométrica de razão x e 1.º termo 1, diferencie e multiplique por x duas vezes.

Prove that for x>1, x\in\mathbb{R} the function f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}} converges and find, with proof, its analytical expression in the form of a rational function f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}.

Hint: use the geometrical series with ratio x and first term 1, differentiate and multiply by x twice.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Série de termo geral n²/xⁿ :: Series of general term n²/xⁿ

  1. Um modo de resolver este problema é aplicar o operador x^2D^2.

    Seja g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}. Aplicando o operador x^{2}D^{2}=(xD)(xD), temos:

    x^{2}D^{2}g(x)=xD\left[ xDg(x)\right] =xD\left[ xg^{\prime }(x)\right]=xg^{\prime }(x)+x^{2}g^{\prime \prime }(x)

    Sendo g(x)=\dfrac{1}{1-x} para \left\vert x\right\vert \prec 1, segue que

    x^{2}D^{2}g(x)=\dfrac{x}{\left( 1-x\right) ^{2}}+\dfrac{2x^{2}}{\left( 1-x\right) ^{3}}

    e sendo x^{2}D^{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}, então

    \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}=\dfrac{x}{\left( 1-x\right) ^{2}}+\dfrac{2x^{2}}{\left( 1-x\right) ^{3}} para \left\vert x\right\vert \prec 1

    Trocando x por 1/t, obtemos

    \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{t^{n}}=\dfrac{t^{2}}{\left( t-1\right) ^{2}}+\dfrac{2t}{\left( t-1\right) ^{3}} para \left\vert x\right\vert \succ 1

    Obrigado pelo comentário sobre o problema do Trem.

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