Problema sobre triângulos e quadrados

Sabendo que a área da figura azul é 1 \text{m}^2, indique se os triângulos exteriores são iguais aos interiores e calcule a medida dos seus lados:

Figura de David Eppstein, (com Günter Ziegler e Greg Kuperberg),  COMB01, Barcelona, 2001

(disponível em Polyhedra and Polytopes, Triangles and squares)

Resposta

São Iguais

Cada lado mede \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{3}} m

 

Edição de 1-10-2010: acrescentada resposta (corrigida). 

Fórum Internacional “Raising The Public Awareness of Mathematics” em Óbidos

 … a decorrer desde ontem até quarta-feira, volvidos dez anos da declaração da União Matemática Internacional do Rio de Janeiro, sobre os grandes desafios do século XXI, Matemática — chave para o desenvolvimento e Imagem da Matemática. O programa encontra-se disponível aqui.

Eis o resumo da conferência de hoje de Carlos Fiolhais, Physics and Mathematics outreach: do they need to split in science communications?:

The general public has an avid interest in Physics subjects like Cosmology and Astronomy, Nanotechnology, and Particle Physics. But most of this subjects are tightly associated with Mathematics, including intricate branches of Mathematics, and it is said (e.g. Hawking) that the inclusion of a single equation halves the number of readers of a popular science books. How is Physics transmitted without Mathematics if the two, at least from the perspective of a physicist, are inseparable? Is Mathematics popularization more difficult than that of Physics? And is public awareness of Mathematics facilitated by the inclusion of Physics?

Motivadas directamente por este resumo deixo aqui duas sondagens:

Um problema de juros compostos de uma série não uniforme da Universidade de Purdue

Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.

« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de i\%, composta anualmente, de maneira a poder levantar-se 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares no final do ano 1,2,3,\ldots , perpetuamente? (Para i=10, a resposta é 2310 dólares.) »

Transcrição do original

What is the smallest amount that may be invested at interest rate i\%, compounded annually, in order that we may withdraw 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dollars at the end of the 1st, 2nd, 3rd, … year, in perpetuity? (For i=10, the answer is 2310 dollars.)

Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}.

Proposição: se -1<x<1, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n} converge para \dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}.

Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para |x|<1:

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\dfrac{x}{1-x}\qquad (1)

e diferenciemos ambos os membros \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\left( 1-x\right) ^{-2}. Agora multipliquemo-los por x: x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}=x\left( 1-x\right) ^{-2}. Diferenciando novamente, obtemos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}=\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) ^{-3}. Multipliquemos ambos os membros por x e completaremos a demonstração da Proposição:

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1} =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}=\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}\qquad (2)

Pondo x=1/c obtemos na forma alternativa, válida para |c|>1,

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^2}{c^n} =\dfrac{c(c+1)}{(c-1)^{3}}\qquad (3)

Designemos por P o valor actual total da série de levantamentos 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares, no fim do ano 1, 2, 3,\ldots . O levantamento n^{2} no final do ano n contribui para P no valor de n^{2}/(1+i/100)^{n}, em que i é a taxa de juro (em percentagem) composta anualmente. Sumando todas as contribuições desde n=1 a \infty P (no princípio do ano 1),  que é o montante A mais pequeno que é necessário investir-se para equilibrar (A-P=0) os levantamentos como enunciado no problema: P=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}/\left( 1+i/100\right) ^{n}.

Usando (3) com c=1+i/100>1 obtemos o valor actual P(i)=A(i), em dólares, em função da taxa de juro i em percentagem:

A(i)=P(i)=\dfrac{\left( 1+i/100\right) (2+i/100)}{(i/100)^{3}}\qquad (4)

Para i=10, confirmamos que A(10)=P(10)=2310.

Cópia do Texto original

[Correcção gramatical: “alternative form” em vez de “alternatively form”]

* * *

Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cálculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.

Livro The P=NP Question and Gödels Lost Letter de Richard J. Lipton

Este é o novo livro The P=NP Question and Gödels Lost Letter do Professor de Computer Science (Georgia Tech) Richard J. Lipton  derivado do seu blogue com quase o mesmo nome. Do Prefácio:

 “ This book is a collection of some of the most popular posts from my blog — Gödel Lost Letter and P=NP — the blog, especially when I started, was to explore various aspects of computational complexity around the famous P=NP question. As I published posts I branched out  and covered additional material, sometimes a timely event, sometimes a fun idea, sometimes a new result, and sometimes an old result. I have always tried to make the posts readable by a wide audience, and I believe I have succeeded in doing this.  

Tomei conhecimento da sua existência, na sua última entrada, My Book On P=NP Is Now Available.

Compilação de alguns cálculos financeiros

Para facilitar a consulta das entradas já publicadas na categoria de Cálculo Financeiro agrupo-as aqui, por ordem cronológica.

1 – Base dos logaritmos naturais e juros

pdf: ver caderno

A base e dos logaritmos naturais \log x=\log_e (x) aparece no cálculo financeiro no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta.

Vou começar pelo caso discreto.

Admitamos que num determinado contrato se aplica, em cada trimestre, uma taxa de juro i composta (trimestralmente, isto é 4 vezes por ano). A taxa nominal anual i_{N} é então

i_{N}=4\times i,

pelo que

i=\dfrac{i_{N}}{4}.

Se o capital investido no início for P, os montantes futuros F ao fim dos vários períodos trimestrais serão:

– 1º trimestre: F_1=P\left (1+i\right )

– 2º trimestre: F_2=P\left (1+i\right )^2

– 3º trimestre: F_3=P\left (1+i\right )^3

\ldots

– trimestre n: F_n=P\left (1+i\right )^n=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{4}\right )^n.

Se em vez de 4 períodos de capitalização, houver m, passaremos a ter ao fim desses m períodos, o montante

F_m=P\left (1+i\right )^m=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m.

Por isso

F_m-P=P\left (\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1\right )

ou

\dfrac{F_m-P}{P}=\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1,

o que traduz a taxa efectiva i_E do contrato, ou seja a relação entre os juros durante um ano e o capital P, conhecido por principal.

Exemplos numéricos: Se a taxa nominal do contrato for de 12\% ao ano composta

  • semestralmente, a taxa efectiva será i_E=\left (1+\dfrac{0,12}{2}\right )^2-1\approx 12,36\%
  • trimestralmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{4}\right )^4-1\approx 12,55\%
  • mensalmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{12}\right )^{12}-1\approx 12,68\%
  • ao dia, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{365}\right )^{365}-1 \approx 12,75\%.

E o que acontece se a taxa for composta em infinitos períodos? É a chamada composição contínua. Corresponde, neste exemplo, ao limite de

i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1

quando m tende para +\infty.

Como é bem sabido do início da Análise,

\displaystyle\lim_{m\to +\infty}\left (1+\dfrac{1}{m}\right )^m=e.

Por este motivo tem-se, no exemplo

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{\dfrac{m}{0,12}}\right )^{0,12}-1 =e^{0,12}-1\approx 12,75\%.

No caso geral da taxa i_N=r (para simplificar a notação que se segue) será

Em resumo, na composição contínua a relação entre as taxas de juro nominal r e efectiva i_{E,\infty} é dada por

i_E =\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1,

donde

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{\dfrac{m}{r}}\right )^{r}-1=e^r-1.

i_{E,\infty}=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E =e^{r}-1.

ADENDAS DE 13-6-2008 E 20-8-2008: pode ver nesta entrada um exemplo de aplicação de

i_E =\left (1+\dfrac{i_N}{m}\right )^{m}-1

bem como nesta.

2 – Logaritmos nos cálculos financeiros

pdf: ver caderno

Suponha o leitor que pretende determinar a taxa nominal anual que composta mensalmente origina uma taxa efectiva de 19,56\%. A relação entre a taxa efectiva (i_E) e a nominal (i_N) é dada pela conhecida igualdade

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1,

em que m é o número de períodos de capitalização.

Numericamente será:

0,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}-1

1,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}

Aplicando logaritmos a ambos os membros desta igualdade, teremos sucessivamente

\ln 1,1956=\ln \displaystyle\left(\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}\right)

\ln 1,1956=12\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right)

0,014887=\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) .

Agora calcula-se o anti-logaritmo:

e^{0,014887}=1+\dfrac{i_N}{12}

e como e^{0,014887}=1,014999,

1,014999=\displaystyle 1+\dfrac{i_N}{12}

ou

0,014999=\dfrac{i_N}{12}

0,014999\times 12=i_N

0,0179988=i_N

A taxa nominal anual é pois igual a 18\%.

Sobre o comportamento de

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1

quando m tende para infinito, veja esta minha entrada.

3 – Série uniforme de pagamentos: Formação de capital

pdf: ver caderno

Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de n pagamentos constantes A à taxa de juro i e que pretende saber qual a relação entre o capital F, no fim dos n períodos, e o valor de A.

O primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos. O segundo, durante n-2 e, em geral, o do período k, durante n-k períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período k é

F_k=A(1+i)^{n-k}.

Se somarmos todos os valores futuros F_k, para k=1,2,\dots,n, atendendo à fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de razão c e primeiro termo u_1, que é igual a

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1},

em que, neste caso, u_1=A (ver a seguir \displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}) e c=1+i, obtém-se

F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}.

Se exprimirmos A em função de F, virá

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}.

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos A são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro i permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de 5\%, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 10\; 000 unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de 10\%?

Neste caso devemos determinar A, conhecida a taxa de juro i=5\% e o valor futuro F=10\; 000, para n=10:

A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05 unidades monetárias.

Para n=20

A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43 unidades monetárias.

Se i=10\%, tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, 627,45 e 174,60 unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de n anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for r, a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a e^r-1, pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}.

P. S. corrigido erro num somatório. Usado c para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa r do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação F/A em função da taxa de juro i para n=10 períodos

E como determinar i conhecidos A,F e n? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

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Um integral de contorno que aparece num artigo célebre de Riemann da Teoria dos Números

(Foto da Wikipédia)

Na memória de Bernhard Riemann «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Grösse» [Do número de primos inferiores a uma determinada grandeza], de 1859, — célebre nomeadamente por nela ser formulada pela primeira vez o que hoje se designa por Hipótese de Riemann –, logo no seu início o grande matemático  escreve:

«Se considerarmos o integral [complexo]:

\displaystyle\int\dfrac{(-x)^{s-1}\,dx}{e^{x}-1}

ao longo da fronteira  de uma região  que contém o valor 0 mas  nenhuma outra singularidade da função integranda, percorrida, no sentido positivo, de +\infty a +\infty, resulta facilmente que é igual a

(e^{-\pi si}-e^{\pi si})\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty }\dfrac{x^{s-1}\,dx}{e^{x}-1}

desde que na função multívoca (-x)^{s-1}=e^{(s-1)\log (-x)} o logaritmo de -x seja  definido de maneira a ser real para x negativo. »

O segundo integral é calculado ao longo do semi-eixo real positivo, s é um parâmetro complexo nos dois integrais. Eis o que pretende ser um esquema do contorno de integração , no plano complexo, do primeiro integral

Extracto do manuscrito de Riemann com a passagem do texto acima traduzida:

(recorte do fac-simile de Bernhard Riemann, disponível no site do Clay Mathematics Institute)

Referências

H. M. Edwards, Rieman’s Zeta Function, Dover Publications, New York, 1974

E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function, Oxford University Press, 2nd ed. revised by D. Heath-Brown, reprinted 1999

Divulgando o Mathematics Stack Exchange

Exemplos do que respondi e perguntei, neste novo site, em dois casos, num como autor de uma resposta e no outro como autor de uma pergunta.

Pergunta de jkottnauer

Adding powers of  i

I’ve been struggling with figuring out how to add powers of i.

For example, the result of i^{3}+i^{4}+i^{5} is 1. But how do I get the result of i^{3}+i^{4}+\ldots +i^{50}? (…)

Minha resposta

Observing that i^{3}+i^{4}+\ldots +i^{50} is a geometric progression with ratio i,  first term i^3 and 50-3+1=48 terms, we have

i^{3}+i^{4}+\ldots +i^{50}=i^{3}\times \dfrac{1-i^{50-3+1}}{1-i}= =i^{3}\times\dfrac{1-i^{48}}{1-i}=i^{2}i\times \dfrac{1-(i^{2})^{24}}{1-i}=

=-i\dfrac{1-(-1)^{24}}{1-i}=-i\dfrac{1-1}{1-i}=0

Minha pergunta

Generalizing \sum_{n=1}^{\infty }n^{2}/x^{n} to \sum_{n=1}^{\infty }n^{p}/x^{n}

For computing the present worth of an infinite sequence of equally spaced payments (n^{2}) I had the need to evaluate

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{x^{n}}=\dfrac{x(x+1)}{(x-1)^{3}}\qquad x>1.

The method I used was based on the geometric series \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}=\dfrac{x}{1-x} differentiating each side followed by a multiplication by x, differentiating a second time and multiplying again by x. There is at least a second (more difficult) method that is to compute the series partial sums and letting n go to infinity.

Question: Is there a closed form for

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{p}}{x^{n}}\qquad x>1,p\in\mathbb{Z}^{+}?

What is the sketch of its proof in case it exists?

Uma das respostas: esta de Qiaochu Yuan

Adenda de 17/9/2010: Uma pergunta de Wade

Aunt and Uncle’s fuel oil tank dip stick problem

(…)

The problem is usually stated in the form of a letter from an Aunt and Uncle:
Dear niece/nephew, How are things going for you and your folks? We hear you are doing quite well it school. Keep it up! Given this success, we were hoping you could help us figure out a little dilemma. As you know, our home is heated by fuel oil, and we have a big tank buried in the side yard. The tank is a cylinder, 20 feet long and 10 feet in diameter, lying on its side five feet deep, with a narrow tube coming to a fill cap at ground level. Your uncle has a 15 foot length of old pipe that we’d like to utilize as a dip stick in order to know when we are getting close to needing a fill-up. We know that 0 feet is empty, 5 feet is half full, and 10 feet is completely full. Trouble is, we don’t know how to mark any other points. We are pretty sure they will not be uniformly spaced. What we really want is to know, within the nearest 0.01 foot, where to mark the dip stick for every multiple of 10% from 0% to 100%. Can you figure this out for us? Of course, we will want to see details of your solution and check it ourselves, and it would especially help if you could draw us a scale model of the dip stick. Love, Auntie Flo and Uncle Jim (…)

Minha resposta

oiltanklevel

oiltanklevelversusoilsticklength

Upper figure: cylinder oil tank cross-section perpendicular to its horizontal axe. The vertical coordinate is the oil level in percentage.

Lower figure: graph of oil volume/max. volume (in %) versus oil level l (in feet). The horizontal straight lines represent the area/volume ratio A(l)/A(10)=V(l)/V(10) (in %) for every multiple of 10% from 0% to 100%.

Since the tank radius is 5, the oil level with respect to the bottom of the tank is given by l=5-5\cos \dfrac{\theta }{2}, where \theta is the central angle as shown in the figure. The area of the tank cross section filled with oil is A(\theta )=\dfrac{25}{2}\theta -\dfrac{25}{2}\sin \theta

or

A(l)=25\arccos (\dfrac{5-l}{5})-\dfrac{25}{2}\sin (2\arccos (\dfrac{5-l}{5}))

The area ratio A(l)/A(10)=V(l)/V(10) where V(l) is the oil volume.

Let f(l) denote this area ratio in percentage:

f(l)=\dfrac{100}{\pi }\arccos \left( 1-\dfrac{1}{5}l\right) -\dfrac{50}{\pi }\sin \left( 2\arccos \left( 1-\dfrac{1}{5}l\right) \right)

Here is the sequence of f(l) for l=0,1,2,\ldots ,10. The graph of f(l) is shown above.

f(0)=0, f(1)=5.2044, f(2)=14.238, f(3)=25.232, f(4)=37.353, f(5)=50,

f(6)=62.647, f(7)=74.768, f(8)=85.762, f(9)=94.796, f(10)=100

(…)

The oil level marks (in feet) should be placed at

0,1.57,2.54,3.40,4.21,

5,5.79,6.60,7.46,8.44,10

corresponding to the oil volume percentage of

0,10,20,30,40,

50,60,70,80,90,100.

This calculation was based on the following f function values:

f(0)=0.0, f(1.5648)=10.0, f(2.5407)=20.0, f(3.40155)=30.0, f(4.21135)=40.0

f(5)=50.0, f(5.7887)=60.0, f(6.59845)=70.000, f(7.4593)=80.000,

f(8.4352)=90.000, f(10)=100.0

Figure of marks:

Problema do mês :: Problem of the month #6

pdmpom20100913

Enunciado do Problema

Os quatro círculos têm o mesmo raio. Determine-o no caso do triângulo medir 1 m².

  • Serão bem-vindas soluções até ao fim do mês, comentando ou por email: acltavares@sapo.pt

Problem Statement

The four circles have equal radius. Find it if the size of the triangle is 1 m².

  • Solutions till the end of the month will be welcome, in the comments
    box or via e-mail:
    acltavares@sapo.pt

Anuidade, amortização e juros

Uma empresa negociou um contrato de locação financeira no valor de 180000 euros e anuidade constante durante um prazo de 10 anos, à taxa de juro anual r=8%.

Determine:

  1. A anuidade (ou renda, anual neste caso) R contratada.
  2. Em função do período anual 1\leq n\leq 10
  • a) o valor da amortização A_n;
  • b) o montante dos  juros J_n.

(Adaptado e simplificado de SNC e as PME — Casos Práticos, p.165-167, de José Farinha e Domingos Cascais, Texto Editores, 2010. )


Sugestão: veja e escolha na categoria “Cálculo Financeiro”  a situação que mais se aproxima deste caso.

Série de termo geral n²/xⁿ :: Series of general term n²/xⁿ

Demostre que para x>1, x\in\mathbb{R} a função f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}} é convergente e determine, justificando, a sua expressão analítica, na forma de fracção racional f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}.

Sugestão: utilize a série geométrica de razão x e 1.º termo 1, diferencie e multiplique por x duas vezes.

Prove that for x>1, x\in\mathbb{R} the function f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}} converges and find, with proof, its analytical expression in the form of a rational function f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}.

Hint: use the geometrical series with ratio x and first term 1, differentiate and multiply by x twice.