Problema sobre triângulos e quadrados

Sabendo que a área da figura azul é 1 \text{m}^2, indique se os triângulos exteriores são iguais aos interiores e calcule a medida dos seus lados:

Figura de David Eppstein, (com Günter Ziegler e Greg Kuperberg),  COMB01, Barcelona, 2001

(disponível em Polyhedra and Polytopes, Triangles and squares)

Resposta

São Iguais

Cada lado mede \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{3}} m

 

Edição de 1-10-2010: acrescentada resposta (corrigida). 

Fórum Internacional “Raising The Public Awareness of Mathematics” em Óbidos

 … a decorrer desde ontem até quarta-feira, volvidos dez anos da declaração da União Matemática Internacional do Rio de Janeiro, sobre os grandes desafios do século XXI, Matemática — chave para o desenvolvimento e Imagem da Matemática. O programa encontra-se disponível aqui.

Eis o resumo da conferência de hoje de Carlos Fiolhais, Physics and Mathematics outreach: do they need to split in science communications?:

The general public has an avid interest in Physics subjects like Cosmology and Astronomy, Nanotechnology, and Particle Physics. But most of this subjects are tightly associated with Mathematics, including intricate branches of Mathematics, and it is said (e.g. Hawking) that the inclusion of a single equation halves the number of readers of a popular science books. How is Physics transmitted without Mathematics if the two, at least from the perspective of a physicist, are inseparable? Is Mathematics popularization more difficult than that of Physics? And is public awareness of Mathematics facilitated by the inclusion of Physics?

Motivadas directamente por este resumo deixo aqui duas sondagens:

Um problema de juros compostos de uma série não uniforme da Universidade de Purdue

Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.

« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de i\%, composta anualmente, de maneira a poder levantar-se 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares no final do ano 1,2,3,\ldots , perpetuamente? (Para i=10, a resposta é 2310 dólares.) »

Transcrição do original

What is the smallest amount that may be invested at interest rate i\%, compounded annually, in order that we may withdraw 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dollars at the end of the 1st, 2nd, 3rd, … year, in perpetuity? (For i=10, the answer is 2310 dollars.)

Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}.

Proposição: se -1<x<1, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n} converge para \dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}.

Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para |x|<1:

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\dfrac{x}{1-x}\qquad (1)

e diferenciemos ambos os membros \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\left( 1-x\right) ^{-2}. Agora multipliquemo-los por x: x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}=x\left( 1-x\right) ^{-2}. Diferenciando novamente, obtemos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}=\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) ^{-3}. Multipliquemos ambos os membros por x e completaremos a demonstração da Proposição:

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1} =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}=\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}\qquad (2)

Pondo x=1/c obtemos na forma alternativa, válida para |c|>1,

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^2}{c^n} =\dfrac{c(c+1)}{(c-1)^{3}}\qquad (3)

Designemos por P o valor actual total da série de levantamentos 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares, no fim do ano 1, 2, 3,\ldots . O levantamento n^{2} no final do ano n contribui para P no valor de n^{2}/(1+i/100)^{n}, em que i é a taxa de juro (em percentagem) composta anualmente. Sumando todas as contribuições desde n=1 a \infty P (no princípio do ano 1),  que é o montante A mais pequeno que é necessário investir-se para equilibrar (A-P=0) os levantamentos como enunciado no problema: P=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}/\left( 1+i/100\right) ^{n}.

Usando (3) com c=1+i/100>1 obtemos o valor actual P(i)=A(i), em dólares, em função da taxa de juro i em percentagem:

A(i)=P(i)=\dfrac{\left( 1+i/100\right) (2+i/100)}{(i/100)^{3}}\qquad (4)

Para i=10, confirmamos que A(10)=P(10)=2310.

Cópia do Texto original

[Correcção gramatical: “alternative form” em vez de “alternatively form”]

* * *

Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cálculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.

Livro The P=NP Question and Gödels Lost Letter de Richard J. Lipton

Este é o novo livro The P=NP Question and Gödels Lost Letter do Professor de Computer Science (Georgia Tech) Richard J. Lipton  derivado do seu blogue com quase o mesmo nome. Do Prefácio:

 “ This book is a collection of some of the most popular posts from my blog — Gödel Lost Letter and P=NP — the blog, especially when I started, was to explore various aspects of computational complexity around the famous P=NP question. As I published posts I branched out  and covered additional material, sometimes a timely event, sometimes a fun idea, sometimes a new result, and sometimes an old result. I have always tried to make the posts readable by a wide audience, and I believe I have succeeded in doing this.  

Tomei conhecimento da sua existência, na sua última entrada, My Book On P=NP Is Now Available.

Compilação de alguns cálculos financeiros

Para facilitar a consulta das entradas já publicadas na categoria de Cálculo Financeiro agrupo-as aqui, por ordem cronológica.

1 – Base dos logaritmos naturais e juros

pdf: ver caderno

A base e dos logaritmos naturais \log x=\log_e (x) aparece no cálculo financeiro no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta.

Vou começar pelo caso discreto.

Admitamos que num determinado contrato se aplica, em cada trimestre, uma taxa de juro i composta (trimestralmente, isto é 4 vezes por ano). A taxa nominal anual i_{N} é então

i_{N}=4\times i,

pelo que

i=\dfrac{i_{N}}{4}.

Se o capital investido no início for P, os montantes futuros F ao fim dos vários períodos trimestrais serão:

– 1º trimestre: F_1=P\left (1+i\right )

– 2º trimestre: F_2=P\left (1+i\right )^2

– 3º trimestre: F_3=P\left (1+i\right )^3

\ldots

– trimestre n: F_n=P\left (1+i\right )^n=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{4}\right )^n.

Se em vez de 4 períodos de capitalização, houver m, passaremos a ter ao fim desses m períodos, o montante

F_m=P\left (1+i\right )^m=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m.

Por isso

F_m-P=P\left (\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1\right )

ou

\dfrac{F_m-P}{P}=\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1,

o que traduz a taxa efectiva i_E do contrato, ou seja a relação entre os juros durante um ano e o capital P, conhecido por principal.

Exemplos numéricos: Se a taxa nominal do contrato for de 12\% ao ano composta

  • semestralmente, a taxa efectiva será i_E=\left (1+\dfrac{0,12}{2}\right )^2-1\approx 12,36\%
  • trimestralmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{4}\right )^4-1\approx 12,55\%
  • mensalmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{12}\right )^{12}-1\approx 12,68\%
  • ao dia, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{365}\right )^{365}-1 \approx 12,75\%.

E o que acontece se a taxa for composta em infinitos períodos? É a chamada composição contínua. Corresponde, neste exemplo, ao limite de

i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1

quando m tende para +\infty.

Como é bem sabido do início da Análise,

\displaystyle\lim_{m\to +\infty}\left (1+\dfrac{1}{m}\right )^m=e.

Por este motivo tem-se, no exemplo

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{\dfrac{m}{0,12}}\right )^{0,12}-1 =e^{0,12}-1\approx 12,75\%.

No caso geral da taxa i_N=r (para simplificar a notação que se segue) será

Em resumo, na composição contínua a relação entre as taxas de juro nominal r e efectiva i_{E,\infty} é dada por

i_E =\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1,

donde

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{\dfrac{m}{r}}\right )^{r}-1=e^r-1.

i_{E,\infty}=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E =e^{r}-1.

ADENDAS DE 13-6-2008 E 20-8-2008: pode ver nesta entrada um exemplo de aplicação de

i_E =\left (1+\dfrac{i_N}{m}\right )^{m}-1

bem como nesta.

2 – Logaritmos nos cálculos financeiros

pdf: ver caderno

Suponha o leitor que pretende determinar a taxa nominal anual que composta mensalmente origina uma taxa efectiva de 19,56\%. A relação entre a taxa efectiva (i_E) e a nominal (i_N) é dada pela conhecida igualdade

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1,

em que m é o número de períodos de capitalização.

Numericamente será:

0,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}-1

1,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}

Aplicando logaritmos a ambos os membros desta igualdade, teremos sucessivamente

\ln 1,1956=\ln \displaystyle\left(\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}\right)

\ln 1,1956=12\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right)

0,014887=\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) .

Agora calcula-se o anti-logaritmo:

e^{0,014887}=1+\dfrac{i_N}{12}

e como e^{0,014887}=1,014999,

1,014999=\displaystyle 1+\dfrac{i_N}{12}

ou

0,014999=\dfrac{i_N}{12}

0,014999\times 12=i_N

0,0179988=i_N

A taxa nominal anual é pois igual a 18\%.

Sobre o comportamento de

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1

quando m tende para infinito, veja esta minha entrada.

3 – Série uniforme de pagamentos: Formação de capital

pdf: ver caderno

Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de n pagamentos constantes A à taxa de juro i e que pretende saber qual a relação entre o capital F, no fim dos n períodos, e o valor de A.

O primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos. O segundo, durante n-2 e, em geral, o do período k, durante n-k períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período k é

F_k=A(1+i)^{n-k}.

Se somarmos todos os valores futuros F_k, para k=1,2,\dots,n, atendendo à fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de razão c e primeiro termo u_1, que é igual a

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1},

em que, neste caso, u_1=A (ver a seguir \displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}) e c=1+i, obtém-se

F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}.

Se exprimirmos A em função de F, virá

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}.

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos A são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro i permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de 5\%, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 10\; 000 unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de 10\%?

Neste caso devemos determinar A, conhecida a taxa de juro i=5\% e o valor futuro F=10\; 000, para n=10:

A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05 unidades monetárias.

Para n=20

A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43 unidades monetárias.

Se i=10\%, tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, 627,45 e 174,60 unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de n anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for r, a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a e^r-1, pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}.

P. S. corrigido erro num somatório. Usado c para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa r do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação F/A em função da taxa de juro i para n=10 períodos

E como determinar i conhecidos A,F e n? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

Continuar a ler