Solução do Puzzle trigonométrico :: Trigonometric Puzzle Solution

Puzzle trigonométrico :: Trigonometric Puzzle

Sejam n um inteiro positivo e f(x) uma função trigonométrica. Determine n e f(x) tais que:

\displaystyle 2f\left( \frac{\pi }{n}\right) =\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{2}}

Let n be a positive integer and f(x) some trigonometric function. Find n and f(x) such that:

\displaystyle 2f\left( \frac{\pi }{n}\right) =\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{2}}.

 

Solução de Jacques Glorieux ::  Solution by Jaques Glorieux:

\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{2}}

=\displaystyle\sqrt{\cos 0-\cos \frac{\pi }{4}}+\sqrt{\cos 0-\cos \frac{\pi }{4}}

=\displaystyle\sqrt{-2\sin \left( \frac{1}{2}\left( 0+\frac{\pi }{4}\right) \right) \sin\left( \frac{1}{2}\left( 0-\frac{\pi }{4}\right) \right) } +\displaystyle\sqrt{2\cos \left( \frac{1}{2}\left( 0+\frac{\pi }{4}\right) \right) \cos\left( \frac{1}{2}\left( 0-\frac{\pi }{4}\right) \right) }

=\displaystyle\sqrt{2\sin ^{2}\frac{\pi }{8}}+\sqrt{2\cos ^{2}\frac{\pi }{8}}

=\displaystyle\sqrt{2}\left( \sin \frac{\pi }{8}+\cos \frac{\pi }{8}\right)

=\displaystyle2\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{\pi }{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{\pi }{8}\right)

=\displaystyle2\left( \sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{8}+\cos \frac{\pi }{4}\cos\frac{\pi }{8}\right)

=\displaystyle2\cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{8}\right)

=\displaystyle2\cos \left( \frac{\pi }{8}\right)

\displaystyle\implies f(x)=\cos x \wedge n=8

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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5 respostas a Solução do Puzzle trigonométrico :: Trigonometric Puzzle Solution

  1. Peço desculpas pelo uso errado das identidades abaixo
    \displaystyle\cos^2(\theta/2)=\frac{1+\cos\theta}{2}
    \displaystyle\sin^2(\theta/2)=\frac{1-\cos \theta}{2}
    o que levou a solução errada do problema. Deixo claro que eu também não estou imune aos eventuais erros matemáticos. Seguindo os mesmos passos, temos
    Note que \displaystyle\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{1-\cos\pi/4}=\sqrt{2\sin^2 \pi/8}= \sqrt{2}\sin \pi/8 e que
    \displaystyle\sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{1+\cos\pi/4}=\sqrt{2\cos^2 \pi/8} = \sqrt{2}\cos\pi/8
    Assim,
    \displaystyle 2f(\pi/n)=\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{2}} =2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{\pi}{8} \right)
    \displaystyle=2\biggl(\cos\frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8} \biggr)=2\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8})=2\cos \frac{\pi}{8}
    Logo,
    \displaystyle f(x)=\cos x e n=8
    Peço que passe para o latex.

    • Não tem nada que pedir desculpas! Penso que acontece a qualquer um. Pelo menos a mim.

      Se pretender que retire o seu código, ficando com um aspecto mais limpo, é só dizer.

      Outro abraço para si! E muito obrigado por comentar neste modesto blogue.

  2. Já agora explico como me surgiu a ideia deste puzzle. Vi escrito que

    \cos \dfrac{\pi }{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.

    Depois, usei um método de transformação de radicais da forma

    (Ver a solução deste problema que submeti a Mathematical Reflections )

    \sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+c}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-c}{2}}, em que c=\sqrt{a^{2}-b} , o que, aplicado a este caso resulta em

    \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}

    “disfarçando” assim \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.

  3. Muito boa a sua observação. Eu sempre visito o seu blog, pois tem sempre novidades bem interessantes. Irei ver com calma o seu problema. Realmente, gostaria sim que retire os códigos e também aquela solução errada. Abraços!

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