Propriedade dos valores próprios das matrizes hermitianas

Seja A uma matriz de entrada (ou elemento) genérico a_{ij}. Admita que a_{ij}\in\mathbb{C}. Relembremos que a conjugada de A, designada por \overline{A} é a que tem como elemento genérico \overline{a_{ij}}, o conjugado de a_{ij}; a transconjugada de A é a transposta de \overline{A}, isto é, a matriz \left( \overline{A}\right) ^{T}. Uma matriz A diz-se hermitiana quando coincide com a sua transconjugada: \left( \overline{A}\right) ^{T}=A, logo \overline{a_{ji}}=a_{ij}. Claro que os elementos a_{11},a_{22},\ldots , a_{ii},\ldots ,a_{nn} da diagonal principal de uma matriz hermitiana são todos reais. As raízes \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} da equação característica \det \left( A-\lambda I\right) =0, em que I é a matriz identidade, recebem o nome de valores próprios da matriz quadrada A (de n linhas e n colunas).
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Se a matriz A for de 2.ª ordem, será da forma

A=\begin{bmatrix}a_{11} & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}\end{bmatrix}

sendo a equação característica dada por:

\det \begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}-\lambda \end{bmatrix}=0

que é equivalente à equação polinomial (quadrática, neste caso):

\lambda ^{2}-\left( a_{11}+a_{22}\right) \lambda +a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}=0

Os valores próprios \lambda _{1},\lambda _{2}\in\mathbb{R}:

\lambda _{1,2}=\dfrac{1}{2}\left( a_{22}+a_{11}\pm \sqrt{\Delta }\right)

uma vez que o determinante da equação característica é nulo ou positivo:

\Delta =\left( a_{22}+a_{11}\right) ^{2}-4\left( a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\right) =\left( a_{11}-a_{22}\right) ^{2}+4\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\geq 0

\bigskip

Esta é uma propriedade das matrizes hermitianas de qualquer ordem: se A for uma matriz hermitiana de ordem n, os seus valores próprios \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} serão todos reais.

Pode encontrar uma demonstração na entrada Hermitian Matrices de MathPages.

Editado em 22 e 23.07.2010: alterado título e feitas ligeiras alterações ao texto.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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