A matriz mágica de Martin Gardner

Martin Gardner  (1914 – 2010) faleceu no último fim-de-semana. Autor da coluna  Mathematical Games, da Scientific American, de 1956 a 1981, publicou mais de 70 livros. 

 

 

Entre nós, a RBA editou, em 2008, o seu livro Ah, Apanhei-te!, na figura, do qual adaptei o seguinte problema:

\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}\qquad 7

Escolha um número qualquer. Na figura é o 7, mas pode ser outro qualquer. Retire de seguida esse número e os números situados na linha vertical e na linha horizontal que passam pelo número que escolheu.

\begin{bmatrix}1&2&\ast &4\\\ast &\ast &\ast &\ast\\9&10&\ast &12\\13&14&\ast &16\end{bmatrix}\qquad 16

Escolha um número qualquer dos que ficaram e retire esse número (na figura é o 16) e os números situados na linha vertical e na linha horizontal que passam por ele.

\begin{bmatrix}1&2&\ast&\ast\\\ast&\ast&\ast&\ast\\9&10&\ast&\ast\\\ast&\ast&\ast&\ast\end{bmatrix}\qquad 1

Escolha um terceiro número e retire-o (na figura é o 1), bem como os da linha vertical e da linha horizontal onde esse número se encontra.

\begin{bmatrix}\ast&\ast&\ast&\ast\\\ast&\ast&\ast&\ast\\\ast&10&\ast&\ast\\\ast&\ast&\ast&\ast\end{bmatrix}

Adicione agora os três números que seleccionou ao único que resta (o 10, neste caso):

7+16+1+10=34

Se escolher outros números, a sua soma é sempre 34. Porquê?

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Enigmas, Matemática com as etiquetas , , . ligação permanente.

11 respostas a A matriz mágica de Martin Gardner

  1. Muito interessante este problema Tavares. Estou formalizando a solução para uma matriz nxn, mas tem alguns pontos que devem ser mais esclarecidos.

    Abraços!

    • Prof. Paulo Sérgio

      Os elementos da matriz inicial são os mesmos que o autor apresenta. A minha adaptação foi na forma de apresentação e na redacção, que perde em relação ao original (pp. 71-73).

      Depois de justificar este caso, considera uma matriz 6\times 6, em que, entre outras características, os elementos de uma linha não são iguais ao elemento correspondente da anterior adicionado a n=6, e dá mais umas pistas para continuar a generalização.

      Abraços!

  2. Caro Prof. Américo Tavares, obrigado pela visita ao meu blog “Matemática do Pi” http://jonasportal.blogspot.com, e pela resolução da lista de exercícios de trigonometria.
    Eram problemas simples, para fixação de conceitos aos alunos do ensino médio.
    Seu blog é excelente, vou acompanhar constantemente!
    Abraços!!

    • Caro Prof. Jonas Portal

      Só um esclarecimento: sou um eng. reformado com gosto por Matemática (esta informação aparece na página “Sobre”.)

      Os seus exercícios estão muito bem formulados e adequam-se realmente ao nível que indica.

      Foi ontem que fiquei a saber do seu blog, seguindo um link existente noutro. Fiquei com vontade de voltar a passar por lá.

      Abraços!

  3. Julio Schimidt diz:

    Olá! Parabéns pelo blog, está bastante interessante.
    Estive pensando sobre a questão apresentada acima, e cheguei a algumas conclusões:
    1º) A Matriz apresentada é quadrada e de ordem 4;
    2º) A diferença entre os elementos de linhas consecutivas de uma mesma coluna, resultam sempre na ordem, no caso, 4;
    3º) O determinante dá zero;
    4º) Se montarmos matrizes quadradas de ordem 2 com os elementos na ordem que são dispostos da matriz apresentada, veremos que a soma dos elementos das diagonais principais são sempre iguais a soma dos elementos das diagonais secundárias; ( Ex.: a1,1 + a2,2 = a1,2 + a2,1 )
    5º) A soma da diagonal principal é igual a soma da diagonal secundária;

    Parece que essas características se aplicam a outras matrizes que seguem a mesma lei de formação. Por exemplo, uma matriz 6×6 onde a diferença dos elementos de linhas consecutivas de mesma coluna sejam iguais a 6.

    Um abraço

    • Obrigado!

      Nas matrizes consideradas por Gardner, a “diferença entre os elementos de linhas consecutivas de uma mesma coluna” é constante ao longo da linha, mas pode variar entre linhas. Por exemplo:

      B=\begin{bmatrix}2&3&5\\6&7&9\\8&9&11\end{bmatrix}

      (4 entre a 1.ª e a 2.ª linha e 2 entre a 2.ª e a 3.ª).

      Quanto ao determinante verifico que muitas vezes é nulo, como na matriz apresentada ou em

      C=\begin{bmatrix}-1&2&-4&3\\-9&-6&-12&-5\\3&6&0&7\\-13&-10&-16&-9\end{bmatrix}

      mas não em

      D=\begin{bmatrix}-1&2\\-9&-6\end{bmatrix}

      A “lei de formação” é tal que o elemento da linha i da coluna j é a soma de um número correspondente à linha i com outro número associado à coluna j.

      Para a matriz apresentada

      A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}

      esses números são, por exemplo,

      0,4,8 e 12 para as linhas, respectivamente, i=1,2,3 e 4

      e

      1,2,3 e 4 para as colunas, respectivamente, j=1,2,3 e 4.

      Independentemente da ordem pela qual se retiram os elementos da matriz, o resultado é igual à soma dos números referentes às linhas e às colunas:

      0+4+8+12+1+2+3+4=34

      porque cada um destes números é somado uma e uma só vez.

      Neste exemplo, aos elementos 7,16,1,10 da matriz, correspondem, nas linhas e colunas, sucessivamente

      \left( 4+3\right) +\left( 12+4\right)+\left( 0+1\right) +\left( 8+2\right) =34.

      Quando se trocam linhas e colunas, não se altera o resultado. É o caso da matriz

      A'=\begin{bmatrix}1&2&4&3\\9&10&12&11\\5&6&8&7\\13&14&16&15\end{bmatrix}

      obtida de A por troca das linhas 2 e 3 e das colunas 3 e 4: os números associados às linhas e às colunas são, respectivamente,

      0,8,4 e 12 (i=1,2,3 e 4)

      e

      1,2,4 e 3 (j=1,2,3 e 4).

      Para a matriz C os números são, respectivamente,

      0,-8,4, e -12 (i=1,2,3 e 4)

      e

      -1,2,-4 e 3 (j=1,2,3 e 4),

      que somados dão 0-8+4-12-1+2-4+3=-16

  4. Helder Geraldes diz:

    Sou técnico de electrónica, gosto de matemática.
    Coloquei este problema em casa e o meu filho de 13 anos detectou em pouco tempo que somando as diagonais grandes, dá 34. Fazendo vários exemplos, detectei que os números possíveis de somar são sempre diagonais repartidas.

    Continuo estudando o problema.

    • Exacto. A escolha dos números, sejam da diagonal principal, sejam da secundária, é um caso particular de outras escolhas, todas elas dando a mesma soma, porque cada número da matriz é retirado apenas uma vez e não fica nenhum por retirar.

  5. Prof. Marcelo Fermino diz:

    Simples! Em uma matriz de ordem n, tem-se que ao escolher os n elementos, temos que nenhum deles pertencerá à mesma coluna ou linha, então a soma destes n elementos pode ser a soma dos elementos da diagonal principal, ou então pode-se formar qualquer outra combinação ao se operar na escolha dos elementos, em cada respectiva coluna permutando-se as linhas dos elementos. Em cada permutação se soma e se subtrai n ou 2n… ie, não se altera nicial que na verdade consiste na soma dos elementos da diagonal principal.

  6. Prof. Marcelo Fermino diz:

    Simples!
    Em uma matriz de ordem n, tem-se que ao escolher os n elementos, temos que nenhum deles pertencerá à mesma coluna ou linha, então a soma destes n elementos pode ser a soma dos elementos da diagonal principal, ou então pode-se formar qualquer outra combinação ao se operar na escolha dos elementos, em cada respectiva coluna permutando-se as linhas dos elementos. Em cada permutação se soma e se subtrai n ou 2n… ie, não se altera nicial que na verdade consiste na soma dos elementos da diagonal principal.
    A soma destes elementos é a soma dos n primeiros termos de uma P.A. cujo primeiro elemento é 1, cuja razão é (n+1), e cujo n-ésimo elemento é (n^2). Daí se conclui SOMA=(((1)+(n^2))x(n))/2. Ok!

    Ps: Site muito interessante!

  7. Prof. Marcelo Fermino diz:

    Olá! venho através deste me desculpar pela expressão “simples” na mensagem anterior, pois na matemática é possível se explicar o conceito mais avançado do Cálculo em 1h e todos entenderem, e enunciar uma conjectura que exija conceitos estudados no ensino fundamental e ninguém responder por séculos, como ocorre com algumas conjecturas! E repito, site muito interessante e com certeza contribui para o aprimoramento dos interessados nesta fascinante ciência!

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s