Martin Gardner (1914 – 2010) faleceu no último fim-de-semana. Autor da coluna Mathematical Games, da Scientific American, de 1956 a 1981, publicou mais de 70 livros.
Entre nós, a RBA editou, em 2008, o seu livro Ah, Apanhei-te!, na figura, do qual adaptei o seguinte problema:
Escolha um número qualquer. Na figura é o 
Escolha um número qualquer dos que ficaram e retire esse número (na figura é o 
Escolha um terceiro número e retire-o (na figura é o 
Adicione agora os três números que seleccionou ao único que resta (o 
Se escolher outros números, a sua soma é sempre 
Problemas e Teoremas 
Muito interessante este problema Tavares. Estou formalizando a solução para uma matriz nxn, mas tem alguns pontos que devem ser mais esclarecidos.
Abraços!
Prof. Paulo Sérgio
Os elementos da matriz inicial são os mesmos que o autor apresenta. A minha adaptação foi na forma de apresentação e na redacção, que perde em relação ao original (pp. 71-73).
Depois de justificar este caso, considera uma matriz
, em que, entre outras características, os elementos de uma linha não são iguais ao elemento correspondente da anterior adicionado a 
, e dá mais umas pistas para continuar a generalização.
Abraços!
Caro Prof. Américo Tavares, obrigado pela visita ao meu blog “Matemática do Pi” http://jonasportal.blogspot.com, e pela resolução da lista de exercícios de trigonometria.
Eram problemas simples, para fixação de conceitos aos alunos do ensino médio.
Seu blog é excelente, vou acompanhar constantemente!
Abraços!!
Caro Prof. Jonas Portal
Só um esclarecimento: sou um eng. reformado com gosto por Matemática (esta informação aparece na página “Sobre”.)
Os seus exercícios estão muito bem formulados e adequam-se realmente ao nível que indica.
Foi ontem que fiquei a saber do seu blog, seguindo um link existente noutro. Fiquei com vontade de voltar a passar por lá.
Abraços!
Olá! Parabéns pelo blog, está bastante interessante.
Estive pensando sobre a questão apresentada acima, e cheguei a algumas conclusões:
1º) A Matriz apresentada é quadrada e de ordem 4;
2º) A diferença entre os elementos de linhas consecutivas de uma mesma coluna, resultam sempre na ordem, no caso, 4;
3º) O determinante dá zero;
4º) Se montarmos matrizes quadradas de ordem 2 com os elementos na ordem que são dispostos da matriz apresentada, veremos que a soma dos elementos das diagonais principais são sempre iguais a soma dos elementos das diagonais secundárias; ( Ex.: a1,1 + a2,2 = a1,2 + a2,1 )
5º) A soma da diagonal principal é igual a soma da diagonal secundária;
Parece que essas características se aplicam a outras matrizes que seguem a mesma lei de formação. Por exemplo, uma matriz 6×6 onde a diferença dos elementos de linhas consecutivas de mesma coluna sejam iguais a 6.
Um abraço
Obrigado!
Nas matrizes consideradas por Gardner, a “diferença entre os elementos de linhas consecutivas de uma mesma coluna” é constante ao longo da linha, mas pode variar entre linhas. Por exemplo:
(
entre a 1.ª e a 2.ª linha e 
entre a 2.ª e a 3.ª).
Quanto ao determinante verifico que muitas vezes é nulo, como na matriz apresentada ou em
mas não em
A “lei de formação” é tal que o elemento da linha
da coluna 
é a soma de um número correspondente à linha 
com outro número associado à coluna 
.
Para a matriz apresentada
esses números são, por exemplo,
e
Independentemente da ordem pela qual se retiram os elementos da matriz, o resultado é igual à soma dos números referentes às linhas e às colunas:
porque cada um destes números é somado uma e uma só vez.
Neste exemplo, aos elementos
da matriz, correspondem, nas linhas e colunas, sucessivamente
Quando se trocam linhas e colunas, não se altera o resultado. É o caso da matriz
obtida de
por troca das linhas 2 e 3 e das colunas 3 e 4: os números associados às linhas e às colunas são, respectivamente,
e
Para a matriz
os números são, respectivamente,
e
que somados dão
Sou técnico de electrónica, gosto de matemática.
Coloquei este problema em casa e o meu filho de 13 anos detectou em pouco tempo que somando as diagonais grandes, dá 34. Fazendo vários exemplos, detectei que os números possíveis de somar são sempre diagonais repartidas.
Continuo estudando o problema.
Exacto. A escolha dos números, sejam da diagonal principal, sejam da secundária, é um caso particular de outras escolhas, todas elas dando a mesma soma, porque cada número da matriz é retirado apenas uma vez e não fica nenhum por retirar.
Simples! Em uma matriz de ordem n, tem-se que ao escolher os n elementos, temos que nenhum deles pertencerá à mesma coluna ou linha, então a soma destes n elementos pode ser a soma dos elementos da diagonal principal, ou então pode-se formar qualquer outra combinação ao se operar na escolha dos elementos, em cada respectiva coluna permutando-se as linhas dos elementos. Em cada permutação se soma e se subtrai n ou 2n… ie, não se altera nicial que na verdade consiste na soma dos elementos da diagonal principal.
Simples!
Em uma matriz de ordem n, tem-se que ao escolher os n elementos, temos que nenhum deles pertencerá à mesma coluna ou linha, então a soma destes n elementos pode ser a soma dos elementos da diagonal principal, ou então pode-se formar qualquer outra combinação ao se operar na escolha dos elementos, em cada respectiva coluna permutando-se as linhas dos elementos. Em cada permutação se soma e se subtrai n ou 2n… ie, não se altera nicial que na verdade consiste na soma dos elementos da diagonal principal.
A soma destes elementos é a soma dos n primeiros termos de uma P.A. cujo primeiro elemento é 1, cuja razão é (n+1), e cujo n-ésimo elemento é (n^2). Daí se conclui SOMA=(((1)+(n^2))x(n))/2. Ok!
Ps: Site muito interessante!
Olá! venho através deste me desculpar pela expressão “simples” na mensagem anterior, pois na matemática é possível se explicar o conceito mais avançado do Cálculo em 1h e todos entenderem, e enunciar uma conjectura que exija conceitos estudados no ensino fundamental e ninguém responder por séculos, como ocorre com algumas conjecturas! E repito, site muito interessante e com certeza contribui para o aprimoramento dos interessados nesta fascinante ciência!