ver/see Problema do mês Problem of the month
Problem: Let be a continuous unbounded real function in the interval
. May the improper integral
converge?
Solution by Jacques Glorieux:
The graph of this function is made of a series of triangles. For , triangle number ‘
‘ has
for height and
for base. The curve so delimited is related to a continuous and unbounded function. The integral of this function is the sum of the areas of the triangles. The area of triangle number
is
. The sum of the areas is thus the sum from
to infinity of the terms of the form
. This sum is
(a well known result (*) ). Thus the integral converges.
Other solver: fatima
* * *
Problema: Seja uma função real contínua ilimitada no intervalo
. O integral impróprio
pode ser convergente?
Resolução de Jacques Glorieux:
O gráfico desta função é constituído por uma série de triângulos. Para , o triângulo número ‘
‘ tem
de altura e
de base. A curva assim delimitada está relacionada com uma função contínua ilimitada, cujo integral é a soma das áreas dos triângulos. A área do triângulo número
é
. Por este motivo a soma das áreas é igual à soma de
até infinito dos termos da forma
. Esta soma é
(um resultado bem conhecido (*) ). Por conseguinte o integral é convergente.
Outra resolução: fatima
(*) [A proof here (in Portuguese) / Uma prova aqui, A. Tavares]
[Typo corrected, corrigida gralha A. Tavares]
[Graph corrected, corrigido gráfico A. Tavares]