Problema do mês :: Problem of the month #5. (Uma função real contínua ilimitada :: An unbounded continuous real function). Resolução :: Solution

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Problem: Let be a continuous unbounded real function in the interval . May the improper integral converge?

Solution by Jacques Glorieux:

The graph of this function is made of a series of triangles. For , triangle number ‘‘ has for height and   for base. The curve so delimited is related to a continuous and unbounded function. The integral of this function is the sum of the areas of the triangles. The area of triangle number is . The sum of the areas is thus the sum from to infinity of the terms of the form . This sum is (a well known result (*) ). Thus the integral converges.

Other solver: fatima

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Problema: Seja uma função real contínua ilimitada no intervalo . O integral impróprio pode ser convergente?

Resolução de Jacques Glorieux:

O gráfico desta função é constituído por uma série de triângulos. Para , o triângulo número ‘‘ tem de altura e  de base. A curva assim delimitada está relacionada com uma função contínua ilimitada, cujo integral é a soma das áreas dos triângulos. A área do triângulo número é . Por este motivo a soma das áreas é igual à soma de  até infinito dos termos da forma . Esta soma é  (um resultado bem conhecido (*) ). Por conseguinte o integral é convergente.

Outra resolução: fatima

(*) [A proof here (in Portuguese) / Uma prova aqui, A. Tavares]

[Typo corrected, corrigida gralha   A. Tavares]

[Graph corrected, corrigido gráfico A. Tavares]

 

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