Problema do mês :: Problem of the month #5. (Uma função real contínua ilimitada :: An unbounded continuous real function). Resolução :: Solution

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Problem: Let $f(x)$ be a continuous unbounded real function in the interval $I=[0,\infty \lbrack$ . May the improper integral $\displaystyle\int_{I}f(x)\;dx$ converge?

Solution by Jacques Glorieux:

The graph of this function is made of a series of triangles. For $n=1,2,3,\dots$ , triangle number ‘ $n$ ‘ has $2n$ for height and $\dfrac{1}{n^3}$ for base. The curve so delimited is related to a continuous and unbounded function. The integral of this function is the sum of the areas of the triangles. The area of triangle number $n$ is $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2n}{n^3}\right)=\dfrac{1}{n^2}$ . The sum of the areas is thus the sum from $n=1$ to infinity of the terms of the form $\dfrac{1}{n^2}$ . This sum is $\dfrac{\pi^2}{6}$ (a well known result (*) ). Thus the integral converges.

Other solver: fatima

* * *

Problema: Seja $f(x)$ uma função real contínua ilimitada no intervalo $I=[0,\infty \lbrack$ . O integral impróprio $\displaystyle\int_{I}f(x)\;dx$ pode ser convergente?

Resolução de Jacques Glorieux:

O gráfico desta função é constituído por uma série de triângulos. Para $n=1,2,3,\dots$ , o triângulo número ‘ $n$ ‘ tem $2n$ de altura e $\dfrac{1}{n^3}$ de base. A curva assim delimitada está relacionada com uma função contínua ilimitada, cujo integral é a soma das áreas dos triângulos. A área do triângulo número $n$ é $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2n}{n^3}\right) =\dfrac{1}{n^2}$ . Por este motivo a soma das áreas é igual à soma de $n=1$ até infinito dos termos da forma $\dfrac{1}{n^2}$ . Esta soma é $\dfrac{\pi^2}{6}$ (um resultado bem conhecido (*) ). Por conseguinte o integral é convergente.

Outra resolução: fatima

(*) [A proof here (in Portuguese) / Uma prova aqui, A. Tavares]

[Typo corrected, corrigida gralha $\dfrac{\pi^2}{6}$ A. Tavares]

[Graph corrected, corrigido gráfico A. Tavares]

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