A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é
O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição 
Dividindo por 
— uma nova equação cúbica (em
cujos coeficientes são:
e
Se exprimirmos a variável
a equação 
(Sobre outro método de resolução ver adenda que basicamente transcreve o meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II)
Uma solução de 
Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números 
De facto
e
Resolvendo-a determinamos
Nesta notação o discriminante 
Consideremos, sem perda de generalidade, 
![t_{1}=\sqrt[3]{Y_{+}}+\sqrt[3]{Y_{-}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=t_%7B1%7D%3D%5Csqrt%5B3%5D%7BY_%7B%2B%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7BY_%7B-%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
ou seja
e uma solução da equação inicial
Conhecida a solução 
ou
Os dois polinómios são equivantes se tiverem iguais coeficientes homólogos:
Novamente temos de determinar dois números 
que resolvida dá as soluções
As três soluções da equação em 
No caso do discriminante ser negativo, 
Os módulos são iguais:
e os argumentos são simétricos, sendo o de
As três raízes cúbicas de 
![\left\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{Y_{+}}=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\left(\cos \left( \dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) +i\sin\left(\dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) \right)\\\\\sqrt[3]{Y_{-}}=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\left( \cos \left( \dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) -i\sin \left(\dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) \right) \end{array}\right.\qquad \left( 19\right)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csqrt%5B3%5D%7BY_%7B%2B%7D%7D%3D%5Csqrt%7B-%5Cdfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%5Cleft%28%5Ccos+%5Cleft%28+%5Cdfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B2k%5Cpi+%7D%7B3%7D%5Cright%29+%2Bi%5Csin%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B2k%5Cpi+%7D%7B3%7D%5Cright%29+%5Cright%29%5C%5C%5C%5C%5Csqrt%5B3%5D%7BY_%7B-%7D%7D%3D%5Csqrt%7B-%5Cdfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%5Cleft%28+%5Ccos+%5Cleft%28+%5Cdfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B2k%5Cpi+%7D%7B3%7D%5Cright%29+-i%5Csin+%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B2k%5Cpi+%7D%7B3%7D%5Cright%29+%5Cright%29+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cqquad+%5Cleft%28+19%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
Obtemos, respectivamente, para 
e as da equação original 
Exemplos
1. Determine as soluções da equação
Pondo
a equação transforma-se em
uma vez que os seus coeficientes são
e
As suas soluções são 
2. Resolva
Como era de esperar a substituição é
e os coeficientes da equação em
são simplesmente os da equação inicial divididos por
e
O discriminante é negativo
Assim, como 
Tentando diminuir os erros de cálculo, reparemos que o inteiro 
e
3. Resolva a equação
Fazendo a substituição
obtém-se a equação
em que
e
Uma solução da equação em
a que corresponde a solução da equação em
As restantes soluções da equação em
e, portanto, as da equação em
Adenda: a equação seguinte aparece nesta questão de Rajesh K Singh no MSE
As três soluções são
* * *
ADENDA (do meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II):
Além do método indicado acima para resolver a equação cúbica reduzida em
que consiste em exprimir a variável 
Através dela obtém-se a equação em
ou seja, para 
O leitor poderá verificar que os dois métodos conduzem à mesma fórmula resolvente; por exemplo, escolhendo a solução 
—
Referência
Compêndio de Álgebra do 7.º ano do Liceu, 1963, de J. Sebastião e Silva e J. da Silva Paulo, págs. 217-218.
—
Última actualização: 15.12.14
Problemas e Teoremas 
Gostei imenso deste artigo. Só por curiosidade: por acaso leu o livro “A Experiência Matemática”?
Obrigado, ateixeira!
Por sinal li. Eis uma cópia da capa da 1.ª edição de 1995:
Nas páginas 188 a 191, no parágrafo “A matemática como enigma” os autores apresentam a exposição de Cardano, que começa por definir a solução como diferença das raízes cúbicas de dois números dos quais se sabe a diferença e o produto e verificam que essa solução satisfaz a equação cúbica sem termo quadrático.
gostei muito da explicaçao
Gostei do método apresentado para resolver completamente uma equação do terceiro grau. Parabéns!!!
Muito obrigado, Prof. Paulo Sérgio!
Eu também gostei muito da sua exposição
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/05/o-metodo-de-viete-para-equacoes-cubicas.html
baseada numa identidade trigonométrica.
” Da Existência de Raíz Real Única em Equação do Terceiro Grau ” – Exceptuando o 1º, dados dois números naturais consecutivos quaisquer, e, tomando o simétrico da sua soma, e o seu produto, respectivamente, para os valores “p ” e “q”, das equações cúbicas da forma x^3+p.x+q=0, todas as assim obtidas, admitem sempre, uma e uma só raíz real.
x^3+(-(n+n+1))x+n(n+1)=0 n diferente de 1
VERY GRATEFUL, THE WORK THAT THE FRIEND ARE DOING HERE. BEING VERY HELPFUL FOR MY WORK. Regards ACM
Prezado prof. Tavares:
Li e gostei do seu artigo sobre as equações cúbicas. Tenho duas comunicações sobre o assunto que julgo interessantes como complemento ao seu artigo. Como faria para que meu escrito apareça em seu sítio (no qual está o seu artigo)?
Atualmente, aposentado, me tenho voltado para os Fundamentos da Matemática, incluíndo o problema da resolução de equações algébricas por radicais, ao lado de minha continuada atuação em pesquisa na subárea de Álgebra — Anéis, Grupos Ordenados –, com algumas incursões na Teoria dos Grupos, e Teoria dos Números.
Seria o seguinte:
I. A discussão da equação real cúbica no caso do discriminante dado em termos dos coeficientes.
II. Uma aplicação geométrica sobre o estudo de certo tipo de triângulo retângulo com hipotenusa dada; aqui surge uma bela constante de separação.
Tomo a liberdade de esperar uma reposta sua.
Atenciosamente,
Gervasio Gurgel Bastos (professor titular, aposentado, da UFC)
P.S.: Tentei o contato por email mas a mensagem voltou.
G. G. B.
Prezado Professor Gervasio Bastos
Sou engenheiro reformado. Ficaria muito satisfeito com uma sua contribuição, dentro dos temas que indica ou outros que julgar convenientes.
É estranho não ter recebido o seu email. Em princípio não deveria ter havido qualquer problema. O meu endereço é acltavares@sapo.pt .
Entretanto irei enviar-lhe este meu comentário para o seu email.
Atenciosamente,
Américo Tavares
Prezados,
Conheço o trabalho do Dr. G. G. Bastos. Fui seu aluno na UFC em 2007 no curso de Estruturas Algébricas e tenham certeza de que é o melhor algebrista que conheço. Hoje sou professor efetivo no Instituto Federal do Ceará e uso as notas escritas pelo Dr. Bastos no curso polinômios e equações algébricas para a licenciatura em matemática.
Caro Dr. Carlos Henrique,
Poderá ler o artigo Sobre Raízes Reais da Cúbica Real do Dr. G. G. Bastos, que teve a amabilidade de me enviar e que publiquei com muito gosto.
gostei muito só achei um pouco grande o artigo, mas é a matemática. Afinal, tem que ter muitos exemplos para entender a matemática, procurei o seu site pois preciso fazer um trabalho de matemática, queria encontrar problemas pára expor no meu trabalho, gostei muito são ótimos, o senhor é ótimo em matemática.
muito obrigado,
por Jéssica Ferreira
realmente, muito obrigado
ja tinha procurado em outros sites como resolver uma equaçao do 3 grau, mas em todos era meio confuso. porem nesse aqui consegui enterder o raciocinio e aprender .
parabens e novamente obrigado.
isso cai em vestibular??
Não sei, mas penso que não, a não ser casos especiais de resolução trigonométrica, que pode ver na secção da Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Trigonometric_.28and_hyperbolic.29_method.
Nao aprendi nada
No exemplo 1, o valor 0 não corresponde a raiz da equação. É só substituir para conferir.
-SIMPLESMENTE EXCELENTE!
METODOLOGIA SIMPLES E DE FÁCIL ENTENDIMENTO.
ta louco????
Mas nunca que essa mét. é de fácil entendimento ‘-‘
Esse método é muito mais trabalhoso.
Vocês estão querendo debater quem usa o método mais burocrático para resolver uma equação?
Este método de Cardano é realmente trabalhoso, mas é o método algébrico mais conhecido. Outros há, como o trigonométrico, igualmente trabalhosos. Quanto a “burocrático” não sei a que se refere. Se não pretender uma expressão em termos de radicais, pode utilizar um método numérico.
Que programa você usa pra escrever as equações? Tem alguma coisa a ver com Latex, né?
Utilizo o Scientific Work Place. E depois para poder escrever o código aqui no WordPress, é necessário acrescentar latex e um espaço em branco a seguir ao primeiro $. Por exemplo, para escrever
, o código habitual é $\frac{a}{b}$, e aqui latex \frac{a}{b} escrito entre dois $. Pode ver mais na categoria LaTeX, na barra lateral e links para três editores de LaTeX no fundo dessa barra.
Gostaria de resolver a equação de 3 grau pela formula de Cardano guando o discriminante for negativo,sendo porém as raízes reais, por exemplo X3-7X-6=0
Queria resolver a equaçao (2-x)(3-x)(2-x)-4=0
Parabéns, é muito difícil encontrar arquivos de tamanha seriedade, compromisso e qualidade como o que encontrei aqui.
Obrigado!
Sei não este método é muito parecido com o método do Professor Oswalddo de Andrade, de Jandaia do Sul, Pr, falecido em 1986, vou pesquisar , mas se for este o método e não comentado, não passa de uma fraude….se não for fiquem felizes pois existe um método denominado Andrade Pezotti que resolve todos os tipos de equaçòes cúbicas através de um unico método….vou pesquisar com fontes ligadas as proprietarios dos direitos e voltarei aqui
Desconheço em absoluto a obra do Professor Oswalddo de Andrade.
A primeira vez que tomei contacto com as bases do método exposto foi na Nota Histórica “As grandes descobertas algébricas do século XVI”, no Compêndio de Álgebra do 7.º ano do Liceu, 1963, de J. Sebastião e Silva e J. da Silva Paulo, págs. 217-218, onde é deduzida a fórmula resolvente da equação
, bem como a obtenção desta equação reduzida da equação cúbica geral 
, por substituição de 
por 
, com 
.
Olá professor, por favor desculpe-me o mau jeito, jamais quis pasar a ideia do senhor ter fraudado a publicação , de forma alguma , o ponto bom do meu comentário é que existe uma formula que resolve todas as equações do terceiro grau sem reduzir a uma do segundo grau (Fórmula de Cardano), o problema é como o profesor Osvaldo faleceu em 1986i o seus trabalhos permanecem não publicados até hoje, entre eles existe a resolução da n-setriz divisão de um angulos em n partes iguais , achando assim o resultado da trisetriz,tetratriz…outro trabalho se refere a dita solução da equação do terceiro grau pelo novo método que traz inclusive soluções de uma equação irreal. Como faço para publicar este trabalho de forma séria e que fique registrado para os estudiosos de matematica que a buscam deste a época dos primeiros matematicos.
Acabei de dar uma estudada no material do Professor Osvaldo e de sua equipe de pesquisa, la vai:
EXEMPLO 01:
A equação: X³ + 9X² + 23X + 15 = 0
Resulta em: x’=-1, x”=-5, x”‘=-3 sendo tres raizes reais.
03A equação x³ + 0*x² -12x -24 =0 que resulta em valores satisfaça a condição para haver uma só raiz real e duas irreais.
x’= 4.207606803
x” = 2.103803402 + 1.130471703 I.
– 2.103803402 – 1.130471703 I.
X”‘ =2.103803402 + 1.130471703 I.
– 2.103803402 – 1.130471703 I.
são os resultados descritos aqui,,,,abraço
O tema é intrigante desde a academia de ALMES cercade 1650 a.C. já se tentava desenvolver um método que satisfaça a soluções das equações cubicas, 3500 anos depois estamos nós aqui desenterrando uma nova resposta para perguntas de Almes,Tales de Mileto,Pitágoras,Euclides,Arquimedes de Saracura…entre outros centros matemáticos…vamos participar disto? Eu os convido…abraço
eu posso lhe da uma questao para o senhor responde?
Caro Romario,
Repito o que já escrevi por mais de uma vez. Desculpe, mas este blogue não é um sítio de perguntas e respostas. Poderá procurar uma ajuda para assuntos de matemática, no Mathematics Stack Exchange (em inglês), cujo link poderá ver na barra lateral.
Ola professor, como faço uma publicação matemática de um unico modelo de solução para as equações cubicas, tanto com raizes reais ou raizes inreais.Tenho curso superior mas não tenho ligações com a docencia , poderia me ajudar.Obrigado
Realmente não o posso ajudar. Poderá criar um blog e publicá-la aí. Também poderá perguntar no Mathematics Stack Exchange — ver link na barra lateral — se o método tem algo de novo, o que deverá ser muito difícil por este assunto ser em pricípio do domínio da Álgebra clássica e ter sido estudado há muito tempo.
Professor qual é o proximo numero da série:Ou os proximos dois numeros…
02,10,12,16,17,18,19…
Caro Marcos Vinicius,
Não sou professor, mas um eng. reformado que gosta de Matemática.
A série 2,10,12,16,17,18,19 pode continuar da seguinte forma:
200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, …
que é a sequência A060248 da The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http://oeis.org/A060248). É formada pelos números que em português começam pela letra d.
Bacana…não conhecia essa sequencia.
Olá, que bom que a seguencia dispertou a curiosidade, é esta mesma a resposta, parabens duplamente uma por ter acertado e outra principalmente por ter participado…legal isto,conhecia a seguencia mas nunca me preocupei em saber sua origem.
Bom amigos, tenho em minhas responsabiidades o trabalho implicito de anos de dedicação de um frupo de professores, entre este resultados um novo método de resolução geral das eguações cúbicas, denominado Método Andrade Pezotti, também não sou professor, me formei em uma das áreas da engenharia , onde tive muito contato com a matematica, porem por 10 anos não me debruçava sobre este assunto, já que despertei peço a colaboração dos amantes da matematica para publicar este método de uma forma séria, artigo em congresso, ou uma publicaçào séria de matematica, acho que criar um blog apenas para expor não seria o ideal, aja visto a importancia deste trabalho, mas para isto nescessito de ajuda.
Agradeço desde já, estou instalando um software matematico e em breve podei apresentar a soluçào para qualquer equação cubica, é só passar a eguação que darei as raizes combinado. Como na época de Tataglia, abraço amigos da matematica.Não quero ser cardano e fazer tudo sozinho, preciso de ajuda de boa vontade abraço!Obrigado.
Ola , olhando os trabalhos do professor Osvaldo, tenho aqui metodos de solução da bissetriz, trissetri,tetratriz,n-triz…tudo inédito…vejo que ele estava pretendendo publicar um livro de calculo contendo novos metodos…incrivel um tesouro…que poderia estar na biblioteca de Alexandria…
UNOPAR: UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ
MARCUS VINÍCIUS FERREIRA DE ANDRADE PEZOTTI
4º ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
NOVO MÉTODO DA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU PELA FÓRMULA DE ANDRADE PEZOTTI
Introdução:
Justifica-se o presente trabalho como uma síntese de uma pesquisa cientifica e histórica sobre o tema “a resolução da equação do 3º grau os seus principais relatos históricos e a demonstração de um novo método para resoluções da equação cúbica” denominado “MÉTODO GERAL DA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU ANDRADE PEZOTTI” ”relacionado o nome da fórmula ao de seus autores professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE ora já falecido e o professor JOÃO PEZOTTI SOBRINHO criadores de uma fórmula geral para a resolução da equação do 3º grau um dos mais antigos problemas da história da matemática e da humanidade e que foi questionada por diversas personalidades da história ,faz-se um levantamento histórico de datas e dados a cerca do assunto, desde a resolução da equação do 1º grau, do 2º grau, e as principais tentativas para a solução do problema , o novo método encontra a três raízes do problema milenar, com eficiência superior em relação ao método de resolução atual (Método de Ferro,Tartaglia,Cardano) e aos diversos métodos de aproximação, e com tanta facilidade de aplicação que poderá ser incluso em qualquer ano letivo do segundo grau, dando seqüência aos estudos de equações.
——————————————–
Este método foi desenvolvido pelos professores OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE , JOÃO PEZOTTI SOBRINHO E MARIA JOANA DE ANDRADE em reuniões continuas durante um período superior a 12 anos de estudos seguidos, resultando entre outros , com a publicação da fórmula da resolução da divisão de ângulos em n partes iguais , com o falecimento de Osvaldo Ferreira de Andrade no ano de 1986, estes trabalhos de estudos foram paralisados, mas continham a nova fórmula para a resolução da equação do 3º grau, estes matérias ficaram quardados por 14 anos , dentro de caixas contendo 56 cadernos comuns , que contem a fórmula geral da equação do 3º grau com todas as suas relações, exemplos, e ainda servindo como documento histórico provando a autenticidade da origem dos verdadeiros estudiosos e criadores da fórmula , e a origem de seus estudos e pensamentos verdadeiros descobridores da Fórmula do 3º grau, no ano de 1999 Marcus Vinícius Ferreira de Andrade Pezotti segundo filho de João Pezotti Sobrinho , acadêmico do curso de graduação em Engenharia da Computação da UNOPAR,UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ, situada na cidade de Arapongas ,que sempre soube do conteúdo e da existência dos trabalhos , e participou como testemunha de diversas reuniões de estudos, começa a fazer um levantamento dos estudos , dos cadernos e anotações e também este relatório histórico acerca do assunto da resolução da equação do 3º grau, hoje julho de 2001 , preparo este artigo para que a Ciências e todos que dela se afortunam em conhecimento compartilhem do conhecimento da fórmula geral da equação do 3º grau pelo método Andrade Pezotti .
HISTÓRIA:
O termo álgebra dentro de um sentido histórico , vem de uma noção de resolver equações, encontrar respostas ,encontrar soluções.As equações que se procuravam responder ao longo da história apareceram por ordem crescente de complexidade.Entende-se por equação, uma condição onde figura o símbolo “=“ (igualdade), e onde pode-se encontrar uma ou mais variáveis ,sendo estas a incógnita ou termos desconhecidos, o termo álgebra só começa a ser utilizado na linguagem matemática por volta do séc. XVII, no entanto a sua noção de igualdade vem já desde a antiguidade. Resolver uma equação é encontrar as suas raízes ou soluções.
As equações classificam-se consoante o seu grau, que tem a ver com o número que figura no expoente das suas incógnitas. Assim, podem classificar-se em equações do primeiro, segundo, terceiro grau, …, se o maior expoente das incógnitas, que figura na equação for, respectivamente 1, 2, 3, … As soluções de uma equação são os valores que transformam a equação numa proposição verdadeira se as variáveis forem por eles substituídos.
A equação do primeiro grau(Gráfico 01):
A equação a x + b = 0 com a não nulo, admite uma única raiz dada por:
x = -b/a
Exemplo:
2 x + 4=0
X= -4/2
X= -2
A raiz da equação 2 x + 4=0 é –2.
Gráfico(01):
A equação do segundo grau (Gráfico 02)
A equação a x2 + b x + c = 0 com a não nulo, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:
x1 = (-b + R[b2-4ac] / 2a
x2 = (-b – R[b2-4ac]/ 2a
onde R[z] é a raiz quadrada de z.
EXEMPLO: a*x^2+b*x+c=0 onde a=2 , b=4 c=-9/8 :
Gráfico 02:
A equação do terceiro grau (Gráfico 03)
A equação ax3+bx2+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Del Ferro, Tartaglia (Cardano) e pela Fórmula de Andrade Pezotti , sendo que esta última representa um novo marco na história da matemática.
EXEMPLO:
a*x^3+b*x^2+c*x+d=0 onde a=1, b=2,c=-3,d=4
Gráfico 03:
A equação do quarto grau (Gráfico 04)
A equação ax4+bx3+cx2+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
EXEMPLO:
ax4+bx3+cx2+dx+e=0 sendo a=1, b=2, c=-2 , d=4 e e=5 temos o gráfico:
Gráfico 04:
A equação do quinto grau
Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão, métodos de aproximações .
A equação de grau n
N números de incógnitas.Resolução por métodos de aproximação.
Como base para descrição histórica da resolução da equação do 3º grau , tomamos a seguinte linha do tempo além de marcos históricos:
Cronologia:
Ahmes cerca de 1650 a.C.
Tales de Mileto
cerca de 600 a.C.
Pitágoras no VI século a.C.
Euclides
cerca de 325 a.C.
Arquimedes de Siracura 287 (?) – 212 a.C.
Eratóstenes 276 (?) – 194 (?) a.C.
Apolõnio de Perga cerca de 200 a.C.
Diofante por volta de 250
Pappos por volta de 400
Eutócios
Abdallah al-Mahanui
Civilização Islâmica
Umar al-Khayyami (Omar)
Mohamed ibn Musa Alchwarizmi por volta de 480
825-888
800-1200
1048-1131
princípios do séc. IX
Leonardo (Fibonacci) de Pisa 1180 (?) – 1250 (?)
Regiomontanus (Johann Müller) 1436 – 1476
Fra Luca Pacioli 1445 (?) – 1514
Nicolas Chuquet fins do séc. XV
Michael Stifel 1487 (?) – 1567
Jerõnimo Cardano 1501 – 1576
Nicolò Fontana, cognom. Tartaglia 1500 (?) – 1557
Lodovico Ferrari 1522 – 1565
François Viète 1540 – 1603
Ludolf van Ceulen 1540 – 1610
Sir John Napier 1550 – 1617
Jost Bürgi 1552 – 1632 (?)
Thomas Harriot 1560 – 1621
Galileu Galilei 1564 – 1642
Johannes Kepler 1571 – 1630
Bonaventura Cavalieri 1598 (?) – 1647
René Descartes
1596 – 1650
Pierre de Fermat
1601 – 1665
Evangelista Torricelli 1608 – 1647
John Wallis 1616 – 1703
Blaise Pascal 1623 – 1662
Christian Huygens 1629 – 1695
James Gregory 1638 – 1675
Sir Isaac Newton 1643 – 1727
Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 – 1716
Jacques Bernoulli 1654 – 1705
João I Bernoulli 1667 – 1748
Brook Taylor 1685 – 1731
Colin Mac Laurin 1698 – 1746
Daniel Bernoulli 1700 – 1782
Leonhard Euler
1707 – 1783
João II Bernoulli 1710 – 1790
Jean le Rond d’Alembert 1717 – 1783
Joseph Louis Lagrange 1736 – 1813
Pierre Simon Laplace 1749 – 1827
Carl Friedrich Gauss
1777 – 1855
Augustin Louis Cauchy 1789 – 1857
August Ferdinand Moebius 1790 – 1868
Nikolai Ivanovitch Lobatchevski 1793 – 1856
Niels Henrik Abel 1802 – 1829
Johan von Bolyai 1802 – 1860
Evariste Galois 1811 – 1832
Bernhard Riemann 1826 – 1866
Richard Dedekind
Osvaldo Ferreira de Andrade 1831 – 1916
1944-1987
João Pezotti Sobrinho 1945…
Os mais antigos relatos do interesse pelas equações cúbicas parece ter-se iniciado com Arquimedes de Siracusa (287-212 A.C.), o maior matemático do período helenístico e de toda a antiguidade. No seu trabalho “Da Esfera e do Cilindro” considera o problema de cortar uma esfera por um plano de tal modo que a razão dos volumes dos dois pedaços na qual ela fica dividida seja um dado número, e mostra que a solução deste problema passa pela resolução de uma equação cúbica da forma:
x3 + m = nx2
Arquimedes resolve então esta equação usando a intersecção de uma parábola com uma hipérbole retangular e analisa o número de raízes positivas.O relato de interesse por equações cúbicas desaparece logo após Arquimedes,somente 700 anos depois , algo entre em torno de 480-? D.C. , por Eutocius um comentador de obras de Apolônio e Arquimedes. Eutocius encontra um fragmento que parece conter a autêntica análise de Arquimedes, obtém a solução e encontra uma condição sobre os coeficientes que determina o número de raízes reais que satisfazem as condições dadas. O registros de interesse pelas equações cúbicas volta a desaparecer, encontrando registros somente 400 anos depois , já no seio da civilização islâmica, por uma análise do mesmo resultado de Arquimedes feita por Abu ‘Abdallah al-Mahanui (825-888 D.C.), as análises de Arquimedes depois de mil anos salvo pequenas evoluções na maneira de demonstra-las ainda eram as únicas respostas para o intrigante problema, provavelmente muitos tentaram resolve-las mas sem sucesso.Tipos particulares de equações cúbicas são então considerados e resolvidos por alguns matemáticos islâmicos, como Thãbit ibn Qurra (836-901), al-Hasan ibn al-Haitham (965-1039) (conhecido por Alhazen), entre muitos outros. É porém o matemático e poeta persa ‘Umar al-Khayyami (1048-1131), também conhecido por Omar Khayyam, um dos maiores gênios do seu tempo, o primeiro a tratar de modo sistemático as equações do 3º grau. No seu livro “Al-jabr wa’l muqabalah” (1079), Khayyam classifica as equações cúbicas em 19 tipos (quando expressas apenas com coeficientes positivos), mostrando que 5 destes tipos se reduzem a equações do 2º grau e, usando seções cônicas, resolve os restantes 14 tipos. No seu livro, Omar Khayyam faz ainda a discussão do número de raízes para cada tipo de cúbica. É de notar também que, apesar de todas as suas construções serem de índole geométrica , sob influência da tradição grega, e de exprimir as soluções das cúbicas como segmentos e não como números dependendo dos coeficientes da equação, sabemos que Khayyam procurava encontrar esses números, pois escreve no seu primeiro capítulo a cerca da resolução da equação cúbica:
“Quando, porém, o objetivo do problema é um número absoluto, nem eu, nem nenhum daqueles que se dedicam à álgebra, conseguiram resolver esta equação – talvez outros que se seguirão sejam capazes de preencher esta lacuna – exceto quando contém os três primeiros graus, nomeadamente, número, coisa e o quadrado.”
Por “número absoluto”, Khayyam refere-se ao que nós chamaríamos de uma solução algébrica, por oposição a uma solução geométrica. Iriam passar-se mais de 400 anos antes que “os que se seguirão” serem capazes dessa resolução algébrica desejada por Omar Khayyam. Não que não tivessem havido tentativas para a solução ,entretanto novamente nenhum registro de progresso por um longo período.Entre os matemáticos que antecederam este período destaca-se Luca Pacioli que nasceu em Borgo San Sepolcro, em 1445 , Em 1494, escreveu a Summa de Arithmetica, Geometria, Proporcione et Proporcionalitá, uma obra de caráter enciclopédico de larga difusão e notável influência (uma das obras mais influentes do início do Renascimento). Nesta obra, Pacioli diz que a resolução de equações do 3.º grau é tão difícil quanto a quadratura do círculo. No entanto, a resolução daquelas equações estava para breve e iria desencadear um notável desenvolvimento da Matemática.As respostas as perguntas de Omar Khayyam ,por volta de 440 anos depois coube a Scipione del Ferro, professor de matemática da Universidade de Bolonha, uma das mais antigas universidades medievais, com uma forte tradição em matemática. Este descobriu, não se sabe como nem exatamente quando, apenas que deve ter sido algo por volta de 1515, como resolver cúbicas da forma x3 + px = q.
Durante os séculos XVI e XVII era usual manterem-se secretas estas descobertas, desafiando as universidades rivais a resolver o mesmo problema em desafios, e talvez por isto Scipione del Ferro não divulgou o seu método. No entanto, antes de morrer, este confidencia o seu segredo a seu aluno António Maria Fior (primeira metade do séc. XVI), e ao seu cunhado e sucessor Annibale della Nave (1500?-1558).
Suponha-se que a idéia da existência de solução algébrica para uma cúbica se espalhou como uma lenda , e Tartaglia relata que o conhecimento da possibilidade de resolver a equação inspirou-o a dedicar-se a achar o método por si só,. Seja independente, seja baseado numa sugestão( é possível que Tartaglia tenha tido uma fonte com alguma dica da solução), Tartaglia de fato aprendeu, por volta de 1541, a resolver equações cúbicas. Quando a notícia disso se espalhou, foi organizada uma competição matemática entre Tartaglia e Fior. Cada um dos concorrentes propôs trinta questões para que o outro resolve-se num intervalo de tempo fixado. Quando chegou o momento da decisão, Tartaglia havia resolvido todas as questões propostas por Fior, enquanto este, não tinha resolvido nenhuma das questões propostas pelo seu oponente. A explicação é relativamente simples. Hoje pensamos em equações cúbicas como sendo essencialmente todas de um mesmo tipo e podendo ser todas resolvidas por um mesmo método algébrico por uma fórmula geral denominado Método Andrade Pezotti. Na época, porém, quando coeficientes negativos praticamente não eram usados, havia tantos tipos de cúbicas quantas são as possibilidades dos coeficientes positivos e negativos.Fior só sabia resolver equações do tipo x3 + px = q embora na época só fossem usados coeficientes numéricos (positivos) específicos. Mas enquanto isso, Tartaglia havia aprendido a resolver equações do tipo em que cubos e quadrados são igualados a um número x3 + px2 = q e sabia reduzir esse caso ao de Fior discípulo de Del Ferro.Tartaglia propôs todas as equações desta forma, e Fior não conseguiu respondelas , a fórmula de Tartaglia continha uma evolução em relação a de Del Ferro, mas nenhum dos dois chegou a publicar a fórmula , mérito histórico que coube a Cardano, que ao saber do resultado da disputa convida Tartáglia a morar em sua casa, e obtém a fórmula da resolução da equação de 3º grau sob forma de juramento, de que não a confidenciaria a mais ninguém , descumpre a promessa e publicou-a em sua obra AS MAGNA em 1545 , porém referencia Tartáglia como o autor, AS MAGNA contém também a resolução da equação do 4º grau atribuída a seu discípulo Ferrari , Cardano entra para a hístoria como o autor da obra mais importante da álgebra de seu tempo, e marco inicial da álgebra moderna, e o nome da equação do terceiro grau ficou por muito tempo lembrada como fórmula de Cardano.Passados 440 anos desta publicação um grupo de professores de uma mesma família , por mais de 12 anos estudam e terminam por conseguir a resolução de um método para a equação do 3º , estes professores eram coordenados pelo professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE ,nascido em———————–,formado em…………………colaboraram para a obtenção e resolução professor em…………………………………………., e o PROFESSOR JOÃO PEZOTTI SOBRINHO, CUNHADOS, E ERAM AUXILIADOS PELAS suas respectivas esposas MARIA JOSÉ GIMENES DE ANDRADE , GENI FERREIRA DE ANDRADE PEZOTTI, e mais outra pessoa que acompanhava e participava nos estudos era a professora de Matemática JOANA FERREIRA DE ANDRADE , irmã mais velha de OSVALDO E GENI .Estes estudos com fins matemáticos iniciaram-se no período de 1975 e foram paralizados somente em 1997 com a morte prematura do Professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE por afogamento no litoral do estado do Paraná. O resultados destes estudos entre outros foram uma monografia apresentada pelo professor Osvaldo com o título “ DIVISÃO DE ÂNGULOS EM n PARTES IGUAIS” dedicada aos professores o cunhado JOÃO PEZOTTI SOBRINHO , e a irmã MARIA JOANA DE ANDRADE “pelos primeiros rudimentos matemáticos ” apresentada ao Curso de Especialização em Ensino da matemática do 1º Grau pelo professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE na FACULDADE de FILOSOFIA ,CIÊNCIAS E LETRAS DE ARAPONGAS EM 1987 , futura UNOPAR,UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ e um arquivo de estudos relacionados a uma fórmula geral para a resolução da equação do 3º grau.O professor OSVALDO pretendia publicar estes trabalhos e demonstra-lo a comunidade ciêntifica em um livro que preparava , publicação esta adiada por 14 anos e é o objetivo principal deste artigo, a demonstração uma nova fórmula resolvente das equações do 3 º grau.
Método Andrade Pezotti
DEFINIÇÃO:
Denomina-se equação algébrica do 3º grau a uma variável “x” quando esta pode ser reduzida a forma:
ax³ + bx² + cx + d = 0 eq:1
Com a,b,c,d pertencentes a R e a0
Os coeficientes “ a ”, ” b ”, ” c ” e “ d ” são os parâmetros,
e “x” a incógnita. A expressão supra denomina-se forma Normal ou Geral e será dita completa se os parâmetros forem diferentes de zero.
Observação:Dis-se que a equação é completa quando a,b,c,d forem diferentes de 0.
Gráfico:
O gráfico de uma equação algébrica do 3º grau, é uma curva , cujos pontos coordenados, satisfazem á equação.
Marcus, saudações!
Gostaria muito de receber os escritos do Prof. Andrade Pezotti, sobre as equações cúbicas, sou apreciador da matemática, e das curiosidades do cálculo e o seu verdadeiro sentido e como usa-las?
Prof. Américo, saudações!
Tenho um sonho de realizar fóruns de matemática em minha cidade, sinto esta carência, visto que as grandes descobertas não vieram somente de exaustivas tentativas e sim de inspirações, como o próprio Albert Einstein escreveu: ” Para Newton o universo era um livro aberto onde ele podia ler todas as palavras sem medir esforços”.
Eu entendo que tudo já existe, porém são poucos os que enxergam!
Caro Gilberto Faguntes,
Só uma precisão: sou um engenheiro reformado que gosta de Matemática, como poderá ver na página Sobre
https://problemasteoremas.wordpress.com/sobre-mim-e-o-blogue/
Gostei muito de seu artigo sobre equações de 3º grau, o conteúdo é apresentado de forma clara e objetiva, tanto que acabei de fazer uma calculadora de equações de 3º grau no Excel, estou no 9º ano do Ensino Fundamental e aprovo seu website.
Pedro
Obrigado! Poderá ver a resolução das equações do 4.º grau em https://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/20/resolucao-da-equacao-do-4-%C2%BA-grau-ou-quartica/
Fiz alguns cálculos com relações e encontrei:
a= c/2p +-(-2b²/3p + c²/4p²)^SEN(30);
b= +-[3a(c-ap)]^SEN(30)
c= b²/3a + ap
d= aq +-{c[3a(c-ap)]^SEN(30)}/3a +-{-2[27a³(c-ap)]^SEN(30)}/27a²
com p = (3ac-b²)/3a² e q = (2b³ – 9abc + 27a²d)/27a³
Gostaria de saber se estão corretos, pois estou em dúvida com “a” e “d”.
Correção:
Em d achei:
d=aq + bc/3a – 2b³/27a²
Então está correto?
[Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que é do WordPress:
] AT
a= c/2p +-\sqrt{-2b²/3p + c²/4p²};
b= +-\sqrt{3a(c-ap)};
c= b²/3a + ap;
d=aq + bc/3a – 2b³/27a²;
com p=p = (3ac-b²)/3a² e q = (2b³ – 9abc + 27a²d)/27a³
[Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que é do WordPress (escrever o código entre dois sinais $, acrescentando “latex “, com um espaço, ao primeiro $. Por exemplo b² escreve-se latex b^2 entre dois sinais $):
com
e
] AT
Só uma observação: Se x=t+h; h = -b/3a então se t’ = $$\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$$; então como x’ = $$\sqrt[3]{q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$$; não deveria ser x’ = $$\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$$?
[Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que por ser do WordPress se deve escrever entre dois sinais $, acrescentando “latex “, com um espaço, ao primeiro $. Por exemplo b² escreve-se latex b^2 entre dois sinais $. Para escrever em modo display (formato maior do que o normal) usar ‘\displaystyle’. Não se deve escrever
t’ = $$\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$$
mas
t’ = \sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}
entre $latex $,
porque nesta caixa de comentários $$ … $$ não é compilado.
Também não se deve escrever
t’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$ latex $
mas sim
t’ = \sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}
entre $latex $.
Corrigi b/(3a) em vez de b/3a, porque
, enquanto que 
:
«Só uma observação: Se
; 
então se
então como
não deveria ser
] AT
Só uma observação: Se x=t+h; h = -b/3a então se t’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$ latex $; então como x’ = $ latex $\sqrt[3]{q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$ latex $; não deveria ser x’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$ latex $?
[Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que por ser do WordPress se deve escrever entre dois sinais $, acrescentando “latex “, com um espaço, ao primeiro $. Por exemplo b² escreve-se latex b^2 entre dois sinais $. Para escrever em modo display (formato maior do que o normal) usar ‘\displaystyle’. Não se deve escrever
t’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$ latex $
mas sim
t’ = \sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}
entre $latex $.
Corrigi b/(3a) em vez de b/3a, porque
, enquanto que 
:
«Só uma observação: Se
; 
então se
então como
não deveria ser
Nota: este comentário em termos de conteúdo é igual ao anterior, embora a formatação (código
) seja diferente.] AT
É; e é isso que está na fórmula
. Ou não estou a perceber a sua questão?
me refiro ao -q/2 virar q/2 na fórmula
Pedro
Obrigado por ter visto a falta do sinal menos em
, que corrigi, devendo ser:
Bom dia Professor Américo Tavares, sou Angolano e faço estudos em matemática e, neste momento estou a fazer estudos em equações cúbicas tal como se está em discussão neste blog, por termos poucas bibliografia será que podia contar com a ajuda do Professor para ter estes conteúdos? meu correio é mucuenje@yahoo.com
Caro David Mucuenje,
Não sou professor, apenas um eng. reformado com interesse na Matemática. Quanto a conteúdos não publiquei mais nada do que este artigo e um de continuação sobre as equações quárticas. Mas tive a honra de publicar o artigo do Professor Doutor Gervasio Gurgel Bastos (Prof. Titular (aposentado), Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil) “Sobre Raízes Reais da Cúbica Real” disponível em
https://problemasteoremas.wordpress.com/2011/06/29/gervasio-gurgel-bastos-sobre-raizes-reais-da-cubica-real/
Existe uma versão em pdf, esta:
https://problemasteoremas.files.wordpress.com/2011/06/casodeltapositivo.pdf .
Está nos meus planos vir a disponibilizar um versão dos meus dois artigos em formato pdf, até por serem dos mais visitados deste blog. Não sei é quando arranjarei tempo para o fazer.
Outro exemplo: a equação![[1]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B1%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
tem as seguintes soluções![[2]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B2%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
:
—
Caro Américo Tavares
Gostaria de propor um exercício simples para o blog:
Prove que
é uma equação equivalente a 
e calcule:
f(x) para x=4; a=3; b=5
OBS: TG=Tangente
ARCTG=Arco Tangente
[Transcrição, conversão para LaTeX e uniformização da notação (
em vez de 
e 
em vez de 
) :
Prove que
é uma equação equivalente a
e calcule:
] AT
Caro Américo Tavares
Gostaria de confirmar se recebeu meu E-Mail
Pedro.
Recebido.
Aguardando resposta.
Caro Américo Tavares
Penso que seria mais simples utilizar de
para descobrir as outras soluções, pois no fim não será necessário utilizar de 
Pedro
Acho também que seria melhor especificar que
é uma condição imposta tal que 
, então 
Prof. não entendi como no seu exercício de número 3 o valor de t1 deu -2, porque no meu dá apenas raízes de números que não são quadrados perfeitos e não chega no valor exato. E aí como vc fez?
Boa pergunta! De início não usei um método exacto. Através da fórmula
obtive
, por aproximação numérica,
era uma solução exacta da cúbica reduzida 
.
e depois confirmei que
Olá professor, novamente venho aqui para que possa me esclarecer mais uma dúvida… Porque em (7) uma solução é dada pelo sistema em (8)? Você igualou a multiplicação de polinômios (3uv+p)(u+v) a 0 e depois o (u³+v³+q) também? Aliás pode fazer isto?
Caro Issac,
Não sou professor, mas um eng. reformado, com gosto pela Matemática.
Em relação à sua questão, o que se passa é que se
tiver uma solução, — e tem –, essa solução também o é de 
. Ou seja, ao decompor 
em 
, obtem-se 
que é resolúvel através de 
.
Olá, eu gostei do método! Porém ainda prefiro o que pesquisa as raízes racionais de equações algébricas com coeficientes de números inteiros! No exemplo Nº 1: x^{3}-6x^{2}+11x-6=0
ONDE: q=-1,1;-2,2;-3,3..-6,6
ai verificamos qual é uma raiz da equação acima!
(-1)^{3}-6(-1)^{2}+11(-1)-6=0 substituindo= -1-6-11-6=-24 diferente de 0! depois; com 1,
(1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)-6 substituindo=1-6+11-6=0 é raiz!
então pegamos aplicamos o dispositivo prático de Briot-Ruffini; chegaremos a uma equação do segundo grau , resolvemos pela fórmula de Bhaskara, e obtemos outras duas raízes.
s:(1,2,3)
Mais eu adorei o Método utilizado parabéns! gostei e entendi!
Sim, quando os coeficientes são inteiros o melhor método para tentar encontrar uma raíz racional é o Teorema das raízes racionais (link: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_das_ra%C3%ADzes_racionais)
Engenheiro Américo, parabéns pelo trabalho.
Gostaria, no entanto, de fazer uma sugestão.
Como você disse, a equação pode ter a forma:
(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=0 (1)
Uma vez encontrada a raiz x1, é mais fácil encontrar as demais raízes da seguinte forma:
(ax^3+bx^2+cx+d)/(x-x1)=0 (2)
A equação (2) pode também ser escrita da seguinte forma:
(x^3+px+q)/(x-x1)=0 (3)
Fazendo a divisão polinomial na equação (3), encontramos o seguinte resultado:
x^2+x1*x+p+a^2=0 (4)
Portanto, as demais raízes podem ser obtidas pela solução da equação (4).
—
Conversão para LaTeX das equações:
[Engenheiro Américo, parabéns pelo trabalho.
Gostaria, no entanto, de fazer uma sugestão.
Como você disse, a equação pode ter a forma:
Uma vez encontrada a raiz
, é mais fácil encontrar as demais raízes da seguinte forma:
A equação
pode também ser escrita da seguinte forma:
Fazendo a divisão polinomial na equação
, encontramos o seguinte resultado:
Portanto, as demais raízes podem ser obtidas pela solução da equação
.] A.T.
Eu dou preferência a explicação passo a passo, para que o aluno possa acompanhar o desenvolvimento dos cálculos e faAS CONDIÇÕES QUE LEVAM A ESCOLHA DE UM MÉTODO DE CÁLCULO
PARA AS EQUAÇÕES DO TERCEIRO GRAU, CONDIÇÕES ESSAS QUE LEVARAM MUITOS MATEMÁTICOS A UMA VERDADEIRA GUERRA, INCLUSIVE COM A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO NEGATIVO, O QUE FEZ CRIAR A FIGURA DE UMA FRAÇÃO SEM SINAL, MAS QUE APONTA O RESULTADO PROCURADO E ISSO SIGNIFICA DIZER QUE, NA MATEMÁTICA, AINDA FALTA MUITO A SE APRENDER. OUTRA COISA IMPORTANTE É DESCOBRIR DE QUE FORMA EXPLICAR PARA QUE O ALUNO ENTENDA ANTES DE PASSAR PARA OUTRO ASSUNTO, UMA VEZ QUE, ASSUNTO NÃO ENTENDIDO, JAMAIS PODERÁ SER RESOLVIDO.
EXEMPLO DE UM CÁLCULO DE UMA EQUAÇÃO DO TERCEIRO GRAU, PASSO A PASSO.
X^3 – 5X^2 +2X +8 = 0
1. ANTES DE TUDO, DEVEMOS SEPARAR OS COEFICIENTES DA EQUAÇÃO.
2. A=1; B= -5; C = 2; D = 8.
3. EXPLICAR QUE X = Y + M.
4. COMO: M = -B/3A.
5. Y = AO RESULTADO DA EQUAÇÃO REDUZIDA.
6. EQUAÇÃO REDUZIDA É O RESULTADO DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
ORIGINAL APLICANDO NO LUGAR DE X, COLOCAR (Y-B) /2A.
7. QUEM É B: -5; QUEM É A: 1.
8. JÁ QUE X=Y+M, FAZEMOS : ( Y-(-5)/3*1). M = 5/3
9. ( Y+ 5/3)^3 -5(Y+5/3)^2 + 2(Y +5/3) + 8 = 0.
10. VAMOS POR UM CAMINHO MAIS CURTO.
11. VAMOS CALCULAR “P” E “Q”.
12. P = (3AC-B^2)/3A^2. ( (3*1*2) – (-5)^2/3*1^2 = ( 6 – 25 )/3 = -19/3
13. Q = (2B^3 – 9ABC + 27A^2D)/27A^3.
14. Q = (((2(-5)^3) – 9*A*(-5) *2 + 27A^2D)/ 27A^3
15. Q = (-250 – 9*1*(-5)*2 + 27*1^2*8) 27*1^3
16. Q = (-250 + 90 + 216 )/27*1 = + 56/27. SENDO “Q” POSITIVO VER FINAL.
17. Q/2 = (56/27)*(1/2) = 56/54.
18. P/3 = (-19/3) * ( 1/3) = -19/9
19. VAMOS CALCULAR DELTA: ((56/54)^2 + (-19/9)^3) = -8,33333333333
20. “DELTA” NEGATIVO E “Q” POSITIVO. APRESENTA UMA CONDIÇÃO PARA SOLUÇÃO.
21. CALCULAR O ÂNGULO EM FUNÇÃO DO COSSENO RESULTADO.
22. AVISO: NÃO HÁ SINAL PARA AS FRAÇÕES APRESENTADAS DE Q E P.
23. FAÇAMOS: -(( I 56/54 I ) ^2 / ( I 19/9 I )^3 ) 0,5 = -0,338086344
24. -0,338086344 É O COSSENO DE 109, 7603267°
25. ÂNGULO TETA / 3 = 36,58677555°
26. VEJAMOS O ÍTEM 8 : M = 5/3
27. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DE X1:
28. X1 = Y = COSSENO DE TETA/3 *+2* ( I P/3 I )^0,5 + M .
29. X1 = Y = 0,802955068 * 2 * ( I 19/9 I ) 0,5 + 5/3 = 4
30. X2 = Y = COSSENO DE ( TETA /3 + 120°) * 2 * ( I 19/9 I)^0,5 +M = -1
31. X3 = Y = COSSENO DE ( TETA /3 + 240° ) *2 * ( I 19/9 I)^0,5 + 5/3 = 2
32. TEMOS A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO TERCEIRO GRAU
33. PARA “Q” POSITIVO TEREMOS O NÚMERO 2 DA FÓRMULA FINAL
zer saber como se encaixa na fórmula e a razão.
-((10/2)^2/(10/3)^3)^0,5= cosseno de teta: -0,821583836
Teta = 145,2436576
x1 = cosseno de (teta/3) * 2 * (10/3)^0,5 +(-1) = 1,42362214. e por aí vai…
É sempre bom fazer tudo passo a passo de uma forma que, quem não sabe, passe a saber.
Se Q for positivo, o multiplicador da fórmula final será 2.
Se o Q for negativo, o multiplicador da fórmula final será -2.
É o que tenho apurado até aqui, espero que em breve saiba mais um pouco sobre isso e a razão.
Carlos Alberto Guimarães de Sá
x^3-24^2+165-242=0
x=y+m m=-b/3a m=-(-24)/3 m = 8
y^3+[((3ac-b^2)/3a^2)]y+[((2b^3-9abc-27a^2d)/27a^3] = 0
y^3 + [(3*1*(-24)^2)/3)]+[((2*(-24)^2 – 9*1*(-24)*165 + 27*1*(-242) )/27*1] =0
y^3+[(3*1*165 – (-24) /3)]y+ [(2(-24)^3 -9*1*(-24)*165 +27(-242)/27)] = 0
y^3+[(495-576)/3]y+[(-27648 +35640-6534)/27] =0
y^3+(-81/3)y+(1458/27)=0
y^3-27+54=0
Delta = ((54/12)^2+(27/3)^3) = 0
x=y=((-27)0,3333333333+(-27)^0,3333333333 +m
x = -6 + 8 = 2
x^3-24x^2 +165x-242 = 0 x=2 dividir a equação por (x-2)
x^2(x-2) = x^3 – 2x^2 falta-22x^2 -22x^2/x = -22x
-22x(x-2) = -22x^2 + 44x falta +121x 121x/x = 121
121(x-2) = 121x-242 = 0 x^3-2x^2 -22x^2 +44x + 121x -242 = 0
Confirmação: 121x = 242 x = 242/141 = 2
MMC de 121 = 11*11.
(-11)*(-11) =121 e -11 -11 = -22
x^2 -22x +121 = 0 (x-11)^2 S=2 e 11.
Uma divisão de equação que tem como método completar o que falta que na realidade é uma soma.
ei vc viu uma nova formula q esta rolando por ai ?se sim vc ja aplicou ela?realmente funcionou?
nao me lembro bem dela mas éra mais ou menos assim:
-b+-raiz cubica 9³-b(n me lembro do resto )
o que vc fez para a raiz cubica virar potencia 1/3?
ola eu estou pesquisando a respeito dessa resolução da eq de grau tres poderia me indicae ou me dizer como eu justificaria as 3 raizes alguma forma,
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Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens, quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será 45. Quais as idades.
Consideremos Eu e Tu.
Passado Presente Futuro
Eu= X + X/2 2X 2X + X/2
Tu= X X + X/2 2X
2X + X/2 + 2X = 45 ? MMC =2
4X + X +4X = 90
9X=90
X=90/9=10 Uma progressão. X=10 onde estiver X, colocar 10
2.10 +10/5 + 10 =45
Passado Presente Futuro
Eu= 10 + 5 =15 2.10 = 20 2.10 + 5 = 25
Tu= 10 10 + 5 = 15 2.10 = 20
Destacando :
Eu= 2.10 + 5 = 25
Tu= 2.10 = 20
Somados = 45. Resolvido por tempos verbais e uma equação simples. Ao Prof. Robson, fazer uma revisão do da sua solução, pois quem pergunta sobre as idades é o mais velho, (EU) e não (NÓS), o mais novo.