Uma fracção contínua convergente

Pelo teorema de Śleszýnki-Pringsheim [1, p.30] (wikipedia), se para todos os valores naturais de j, se verificar \left\vert b_{j}\right\vert \geq \left\vert a_{j}\right\vert +1, a fracção contínua \mathcal{K}_{1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) é convergente. É o caso de

    \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\begin{array}{c}\\\ddots\end{array}}}}=\mathcal{K}_{j=1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) \qquad (1)

uma vez que a_{j}=1, b_{j}=2 e b_{j}=a_{j}+1.

Para calcular o número real representado por esta fracção contínua, reparemos que a sucessão dos convergentes

u_{1}=\dfrac{1}{2}

u_{2}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2+u_{1}}=\dfrac{2}{5}

u_{3}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2+u_{2}}=\dfrac{5}{12}

u_{4}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}}=\dfrac{1}{2+u_{3}}=\dfrac{12}{29}

\dots

verifica a relação

u_{n}=\dfrac{1}{2+u_{n-1}}

Aplicando limites, há-de ser

L:=\lim u_{n}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n-1}}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n}}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n}}=\dfrac{1}{2+L}

ou seja

L^{2}+2L-1=0

e

L=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-1\qquad (2)

Por ser negativa exclui-se a outra solução da equação:

\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-1<0

Pode interpretar-se este resultado como uma consequência da igualdade

\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}

e que corresponde a substituir em (1) as sucessivas caudas, pelo seus valores numéricos, todos eles iguais:

\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\begin{array}{c}\\\ddots\end{array}}}}=\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}}=\cdots

 

Exercício: Mostre que, se u_k=\mathcal{K}_{j=1}^{k}\left( 1/2\right)

u_{2}<u_{4}<\cdots <u_{2n}<\cdots <\mathcal{K}_{j=1}^{\infty}\left( 1/2\right) <\cdots <u_{2n-1}<\cdots <u_{3}<u_{1}

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida truncando a fracção contínua

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)

=b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

__________

    
 [1] Lorentzen, Lisa, Waadeland, Haakon, Continued Fractions with Applications, North-Holland, 1992

 

* * *

Nota: atingidos hoje os 300 mil hits.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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