Uma certa igualdade (não identidade) integral e as funções que a verificam

Em Erreur d’élève (encore une), Pierre Bernard publicou um exercício, em que perguntou quais são as funções contínuas f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C} que verificam a condição

\displaystyle\int_{-a}^{-b}f(x)\;dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;dx\qquad (\ast )

para todos os reais a,b.

Inicialmente apenas mostrei que as funções pares verificam (\ast ).

I:=\displaystyle\int_{-a}^{-b}f(x)\;dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(-x)\;dx

Se f é uma função par,

I=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;dx.

Mas o que verdadeiramento estava em causa era identificar as funções que satisfaziam a relação (\ast ), como me salientou o autor. Entretanto um leitor sugeriu (em tradução): «Uma vez que isso deve ser verdadeiro para todos os a,b, por que não derivar em relação a um e ao outro?». Eis basicamente uma tradução do que escrevi, seguindo esta sugestão.

Notação:

I_{1}(a,b)=\displaystyle\int_{-a}^{-b}f(t)\;dt=-\displaystyle\int_{-b}^{-a}f(t)\;dt

I_{2}(a,b)=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\;dt=\displaystyle\int_{b}^{a}f(t)\;dt

As derivadas parciais são:

\dfrac{\partial I_{1}}{\partial a}=-\dfrac{\partial I_{1}}{\partial (-a)}=f(-a)

\dfrac{\partial I_{2}}{\partial a}=f(a)

\dfrac{\partial I_{1}}{\partial b}=-\dfrac{\partial I_{1}}{\partial (-b)}=-f(-b)

\dfrac{\partial I_{2}}{\partial b}=-f(b)

Como I_{1}(a,b)=I_{2}(a,b) as derivadas devem ser iguais:

\dfrac{\partial I_{1}}{\partial a}=\dfrac{\partial I_{2}}{\partial a}

\dfrac{\partial I_{1}}{\partial b}=\dfrac{\partial I_{2}}{\partial b}

Isto é, para todos os reais a,b, tem-se:

f(-a)=f(a)

f(-b)=f(b)

que é a definição de função par.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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