Um integral real calculado pelo método dos resíduos

O integral seguinte, obtido, por substituição, de outro  publicado no Gaussianos

I=\displaystyle\int_{-\infty }^{+\infty }\dfrac{dx}{1+x^{4}}

pode calcular-se, utilizando a função de variável complexa f(z)=\dfrac{1}{1+z^{4}} e a curva fechada C formada pela união do segmento de recta \left[ -r,r\right] (r>1) com a semicircunferência C_{r} centrada na origem e raio r, situada no semi-plano superior complexo.

A função f(z) tem quatro pólos, dois situam-se  no interior de C:

z_{0}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}+i\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

z_{1}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}+i\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

e dois no exterior:

z_{2}=-z_{0}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}-i\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

z_{3}=-z_{1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}-i\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

Os resíduos de f em z_{0} e z_{1} são:

\text{res}\left( f,z_{0}\right) =\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim }\dfrac{z-z_{0}}{\left( z-z_{0}\right) \left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) \left( z-z_{3}\right) }

=\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim }\dfrac{1}{\left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) \left( z-z_{3}\right) } =\dfrac{1}{\left( z_{0}-z_{1}\right) \left( z_{0}-z_{2}\right) \left( z_{0}-z_{3}\right) } =-\dfrac{1}{\left( 2-2i\right) \sqrt{2}}

e

\text{res}\left( f,z_{1}\right) =\underset{z\rightarrow z_{1}}{\lim }\dfrac{z-z_{1}}{\left( z-z_{0}\right) \left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) \left( z-z_{3}\right) }

=\dfrac{1}{\left( z_{1}-z_{0}\right) \left( z_{1}-z_{2}\right) \left( z_{1}-z_{3}\right) } =\dfrac{1}{\left( 2+2i\right) \sqrt{2}}

Pelo teorema dos resíduos tem-se, se \underset{r\rightarrow +\infty}{\lim }\displaystyle\int_{C_r}f(z)\;dz=0:

I=\displaystyle\int_{-\infty }^{+\infty }\dfrac{dx}{1+x^{4}}=\displaystyle\int_{C}\dfrac{dz}{1+z^{4}} =2\pi i\left( \text{res}\left( f,z_{0}\right) +\text{res}\left( f,z_{1}\right) \right)

 =2\pi i\left( -\dfrac{1}{\left( 2-2i\right) \sqrt{2}}+\dfrac{1}{\left( 2+2i\right) \sqrt{2}}\right) =\dfrac{1}{2}\pi \sqrt{2}

Verifiquemos a condição relativa ao limite. Sobre a semicircunferência C_{r}, verifica-se

\left\vert f(z)\right\vert =\left\vert\dfrac{1}{1+z^{4}}\right\vert <\left\vert\dfrac{1}{z^{4}}\right\vert =\dfrac{1}{r^{4}}

e, como

 \left\vert \dfrac{1}{1+z^{4}}\right\vert \rightarrow 0

 quando r\rightarrow \infty , o limite do integral é nulo

\underset{r\rightarrow +\infty}{\lim }\displaystyle\int_{C_r}f(z)\;dz=0.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Um integral real calculado pelo método dos resíduos

  1. waze diz:

    muito objectivo e simples de perceber. Exactamente o que procurava.
    Muito Obrigado!

  2. Muito obrigado mesmo! Creio que visitarei esse site mais vezes! Sucesso!

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