Paralelogramo e triângulo: um problema modelo de um teste para futuros professores

O blogue The Number Warrior publicou recentemente um post no qual, citando o  artigo de Sam Dillon U.S. Falls Short in Measure of Future Math Teachers do The New York Times de Abril 14, 2010, aparece um problema, de um novo teste comparativo realizado por futuros professores de Matemática das middle schools de 15 países, que traduzido, se pode enunciar da seguinte forma:

« Na figura, ABCD é um paralelogramo, \angle BAD=60^\circAM e BM são as bissectrizes dos ângulos, respectivamente, BAD e ABC. Sabendo que o perímetro de ABCD é igual a 6 cm, determinar as medidas dos lados do triângulo ABM. »

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(1,1){\line(1,2){1}}\put(1,1){\line(3,2){3}}\put(1,1){\line(1,0){4}}\put(5,1){\line(1,2){1}}\put(5,1){\line(-1,2){1}}\put(2,3){\line(1,0){4}}\put(0.6,0.8){\textit{A}}\put(5.05,0.8){\textit{B}}\put(1.6,3.1){\textit{D}}\put(3.85,3.2){\textit{M}}\put(6.05,3.1){\textit{C}}\end{picture}

Fonte: Figura do artigo de Sam Dillon U.S. Falls Short in Measure of Future Math Teachers, The New York Times, Abril 14, 2010:

On the figure, ABCD is a parallelogram, angle BAD=60º, AM and BM are angle bisectors of angles BAD and ABC respectively. If the perimeter of ABCD is 6 cm, find the sides of triangle ABM.

Resolução

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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6 respostas a Paralelogramo e triângulo: um problema modelo de um teste para futuros professores

  1. Muito interessante o teste, este problema possui muitas simetrias.

    • É verdade, Prof. Paulo Sérgio.

      O que não tenho a certeza é qual será o nível de conhecimentos, em Geometria e Trigonometria, que os alunos das middle schools terão, na altura em que sejam confrontados com uma questão deste género, como agora foram os seus (futuros)professores.

      Na resolução que fiz, utilizei a lei dos senos, que era dada, na década de 60, entre nós, no equivalente ao 11.º actual (16-17 anos). Com essa lei, e o conhecimento do valor das funções trigonométricas para os ângulos de 30º e 60º o cálculo é natural e fácil. Mas, sem recurso à mesma, já não me parece de resolução tão directa.

      Actualmente, por cá, ensina-se Trigonometria mais cedo, mas em menor profundidade.

  2. Tavares achei duas soluções do problema usando apenas as propriedades da Geometria Plana. Veja no links abaixo

    Solução 1:

    Solução 2:

    • Prof., muito boas as suas soluções!

      A segunda, talvez mais inesperada, é verdadeiramente elegante.

      Quanto à primeira, os seus passos, elementares mas bastante bem encadeados, tornam-na igualmente bela.

      Obrigado por divulgá-las aqui.

  3. Obrigado achei interessante este problema. Não digitei no latex por falta de tempo e incompatibilidade de plataformas, portanto peço desculpas pela má apresentação das soluções.

  4. Larry diz:

    Muito show ! Encontrei esse site a pouco, cada minuto nele fico mais feliz, parabens ! o/ o/ o/ o/

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