Desigualdade das médias geométrica e aritmética a n dimensões (como exercício de Cálculo Diferencial)

Vejamos primeiro o caso tridimensional (n=3), no seguimento do bidimensional (para n=2), cuja interpretação geométrica (Wikipedia) é ilustrada por esta figura publicada anteriormente

Quadrado de lado 2 e rectângulo de lados 3 e 1 de iguais semi-perímetros

(Semi-perímetros: 2+2=3+1; áreas: 2^2>3\times 1)

\bigskip

Esta refere-se ao tridimensional

 Cubo de lado 2 e paralelepípedo de lados 1, 1 e  4 de iguais somas dos três lados

(Soma de 3 lados concorrentes: 2+2+2=1+1+4; volumes: 2^3>1\times 1\times 4)

\bigskip

Vamos provar, pelos métodos do Cálculo diferencial, que

x^{2}y^{2}z^{2}\leq \dfrac{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{3}}{27}\qquad(\ast )

e consequentemente, se a_{1},a_{2},a_{3}\geq 0

\sqrt{a_{1}a_{2}a_{3}}\leq \dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\qquad (\ast\ast)

Seja a função f

f(x,y,z)=\left( xyz\right) ^{2}\qquad (1),

e a  restrição

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\qquad (2)

Substituindo (2) em (1), ficamos com

f(x,y)=x^{2}y^{2}\left( r^{2}-x^{2}-y^{2}\right) \qquad (3)

A – Reparemos que, por razões de simetria nas variáveis x,y e z, quer na expressão analítica da função quer na da restrição, o máximo a existir há-de ocorrer para x=y=z, o que se traduz na resolução do sistema:

\left\{ \begin{array}{c}f(x,y,z)=\left( xyz\right) ^{2} \\ \max f(x,y,z) \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \\x=y \\ y=z\end{array}\right.

Ou seja, em

\left\{ \begin{array}{c}f(x,x,x)=\left( x^{3}\right) ^{2} \\ \max f(x,x,x) \\ 3x^{2}=r^{2}\end{array}\right.

isto é, na maximização do caso unidimensional

\left\{ \begin{array}{c}\max x^{6} \\ 3x^{2}=r^{2}\end{array}\right.

O valor do máximo é, pois,

\left( \dfrac{r^{2}}{3}\right) ^{3}=f\left( \sqrt{\dfrac{r^{2}}{3}},\sqrt{\dfrac{r^{2}}{3}},\sqrt{\dfrac{r^{2}}{3}}\right) \qquad (4)

B – Em alternativa, podemos manter a resolução nas duas variáveis x,y, e aplicar o método geral:

1 – começar por diferenciar f parcialmente:

\dfrac{\partial }{\partial x}f(x,y)=2r^{2}xy^{2}-4x^{3}y^{2}-2xy^{4}

\dfrac{\partial }{\partial y}f(x,y)=2r^{2}x^{2}y-4x^{2}y^{3}-2x^{4}y

\dfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}f(x,y)=2r^{2}y^{2}-2y^{4}-12x^{2}y^{2}

\dfrac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}f(x,y)=2r^{2}x^{2}-2x^{4}-12x^{2}y^{2}

\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{\partial }{\partial x}f(x,y)\right) =4r^{2}xy-8x^{3}y-8xy^{3}

\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{\partial }{\partial y}f(x,y)\right) =2r^{2}x^{2}-2x^{4}-12x^{2}y^{2}

2 – resolver o sistema de equaçoes de derivadas parciais de primeira ordem:

\left\{ \begin{array}{c}\dfrac{\partial }{\partial x}f(x,y)=0 \\ \dfrac{\partial }{\partial x}f(x,y)=\dfrac{\partial }{\partial y}f(x,y)\end{array}\right.

e obter:

x^{2}=y^{2}=\dfrac{r^{2}}{3}

donde, atendendo a \left( 2\right)

x^{2}=y^{2}=z^{2}=\dfrac{r^{2}}{3}\qquad (5)

Substituindo estes valores em (1) resulta (4).

3 – Analisar o sinal do determinante seguinte para verificar que f\left(\sqrt{r^2/3},\sqrt{r^2/3},\sqrt{r^2/3}\right) é um máximo de f :

\det\left. \begin{pmatrix}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\ \dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}\right) &\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\end{pmatrix}\right\vert _{\displaystyle x=y=\sqrt{r^2/3}}

=\left. \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}-\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\right\vert _{\displaystyle x=y=\sqrt{r^2/3}}=\dfrac{32}{81}r^{8}>0\qquad (6)

4 – Analisar o sinal da segunda derivada parcial em ordem a x, para conjuntamente com 3, verificar  que f\left(\sqrt{r^2/3},\sqrt{r^2/3},\sqrt{r^2/3}\right) é um máximo de f :

\left. \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}f(x,y)\right\vert _{\displaystyle x=y=\sqrt{r^2/3}}=-\dfrac{8}{9}r^{4}<0\qquad (7)

Os sinais obtidos em B.3 e B.4 garantem que a função f tem um máximo relativo em \left( x,y,z\right) =\left( \sqrt{r^2/3},\sqrt{r^2/3},\sqrt{r^2/3}\right).

 

A generalização de (\ast ) e (\ast\ast) a n números positivos pode fazer-se facilmente pelo método A.

Seja

f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left( x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{2}\qquad (8),

uma função sujeita à restrição

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=r^{2}\qquad (9)

Agora será pelas mesmas razões de simetria nas variáveis x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}, tanto na expressão analítica (8) da função como na da restrição (9), que o máximo ocorre para x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}, o que se traduz na resolução do sistema:

\left\{\begin{array}{c}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left( x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right) ^{2} \\ \max f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}) \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=r^{2} \\ x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}\end{array}\right.

Ou seja, em

\left\{ \begin{array}{c}f(x_{1},x_{1},\ldots ,x_{1})=x_{1}^{2n} \\ \max f(x_{1},x_{1},\ldots ,x_{1}) \\ nx_{1}^{2}=r^{2}\end{array}\right.

isto é, na maximização de uma função de uma única variável

\left\{ \begin{array}{c}\max x_{1}^{2n} \\ nx_{1}^{2}=r^{2}\end{array}\right.

equivalente a

\left\{\begin{array}{c}\max \left( \dfrac{r^{2}}{n}\right) ^{n} \\ x_{1}^{2}=r^{2}/n\end{array}\right.

O valor do máximo é então

\dfrac{r^{2n}}{n^{n}}=f\left( \sqrt{\dfrac{r^{2}}{n}},\sqrt{\dfrac{r^{2}}{n}},\ldots ,\sqrt{\dfrac{r^{2}}{n}}\right) \qquad (10)

Logo,

\left( x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right) ^{2}\leq\dfrac{\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) ^{n}}{n^{n}}\qquad (11)

Se pusermos a_{k}=x_{k}^{2}, para a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\geq 0 tem-se

a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\leq \dfrac{\left( a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)^{n}}{n^{n}}

ou

\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\leq \dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}

que é a desigualdade das médias geométrica e aritmética — geométrica, no lado esquerdo e aritmética, no direito.

Como escrevi antes este exercío é proposto em [1] — na secção relativa ao método de Lagrange. Aqui optei por resolvê-lo sem recorrer a esse método.

[1] TAYLOR, Angus, Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts, 1955.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Cálculo, Desigualdades matemáticas, Exercícios Matemáticos, Matemática com as etiquetas , . ligação permanente.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s