Desigualdade das médias geométrica e aritmética no caso bidimensional (n=2)

Trata-se de demonstrar, como simples exercício de Cálculo, que

x^{2}y^{2}\leq\dfrac{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}{4}

e consequentemente, se a_{1},a_{2}\geq 0

\sqrt{a_{1}a_{2}}\leq \dfrac{a_{1}+a_{2}}{2}.

Antes de começar, gostaria de indicar que um método inteiramente algébrico é  usar a identidade  já vista anteriormente:

\left( \dfrac{a_{1}+a_{2}}{2}\right) ^{2}-a_{1}a_{2}=\left( \dfrac{a_{1}-a_{2}}{2}\right) ^{2}\geq 0.

Seja

f(x,y)=\left( xy\right) ^{2}\qquad (1),

sujeita à restrição

x^{2}+y^{2}=r^{2}\qquad (2)

Substituindo (2) em (1), ficamos com

f(x)=x^{2}\left( r^{2}-x^{2}\right) \qquad (3)

e derivando,

f^{\prime }(x)=2r^{2}x-4x^{3}

f^{^{\prime \prime }}(x)=2r^{2}-12x^{2}\leq 0.

O máximo de f(x) ocorre em x=\sqrt{\dfrac{r^{2}}{2}} e

\max f(x)=f\left( \sqrt{\dfrac{r^{2}}{2}}\right) =\dfrac{r^{2}}{2}\left( r^{2}-\dfrac{r^{2}}{2}\right) =\left( \dfrac{r^{2}}{2}\right) ^{2}\qquad (4)

pelo que

x^{2}\left( r^{2}-x^{2}\right) \leq \left( \dfrac{r^{2}}{2}\right) ^{2}=\dfrac{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}{4}

e

x^{2}y^{2}\leq \dfrac{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}{4}

Logo

\sqrt{x^{2}y^{2}}\leq\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\qquad (5).

Se pusermos

a_{1}=x^{2}

a_{2}=y^{2}

obtemos

\sqrt{a_{1}a_{2}}\leq\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2}\qquad (6)

Este exercício é uma simplificação do exercício mais geral de [1, exercise 28, p.204], em que se pede para provar a igualdade correspondente a (4) para três números positivos e generalizar (6) para n números positivos:

\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\leq\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}.

Continuação

[1] TAYLOR, Angus, Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts, 1955.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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