Probabilidade condicionada com moedas

(estas moedas não são de prata nem de ouro, mas de alpaca e de cobre)

A Professora Fernanda Carvalhal publicou, em 30.03.10, com o título  A moeda de Bertrand o problema seguinte:

« Tenho três caixas tendo uma delas duas moedas de ouro, outra uma moeda de ouro e outra de prata, e a outra duas de prata. De uma das caixas tira-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade de a moeda que ficou na caixa seja de ouro? »

 Apresentei a seguinte resposta errada:

« Se não me engano, a probabilidade é 1/2.

Justificação (sem grande rigor de notação):

1.º método (O — ouro, P — prata) — (1.ª moeda,2.ª moeda)

(O,O),(O,O),(O,P),

(P,O),(P,P),(P,P)

N.º de pares ordenados em que o segunto elemento é ouro/N.º total de pares ordenados = 3/6 = 1/2

2.º método (sabendo-se que a 1.ª moeda de ouro):

1 caixa favorável: \{O,O\}, 2 caixas possíveis: \{O,O\},\{O,P\}

A Probabilidade é então 1/2.

Nota: a caixa restante \{P,P\} exclui-se. »

O comentário da autora do post foi:

« Na realidade este é um paradoxo probabilístico. A probabilidade é 2/3.

Ver em http://www.sedentario.org/colunas/duvida-razoavel/porta-dos-desesperados-5853 » 

ao que respondi:

« Espalhei-me completamente, o que não me admira, porque as probabilidades são (ou podem ser) muito matreiras.

Sabendo já qual é o resultado (2/3), vou corrigir o meu raciocínio anterior, tentando aproveitar o que puder.
 
Os casos possíveis, seis, são:
 
 #1 (O,O), #2 (O,O), #3 (O,P),
\bigskip

#4 (P,O), #5 (P,P), #6 (P,P)

 ou, na notação do autor (**) do post com a solução / explicação:
 

#1 (O_1,O_2), #2 (O_2,O_1), #3 (O,P), 

 #4 (P,O), #5 (P_1,P_2), #6 (P_2,P_1)

A probabilidade P(O) de a primeira moeda ser de ouro é igual a 1/2 (há três moedas de ouro num total de seis).

A probabilidade P(OO) de ambas serem de ouro é igual 1/3 (os casos favoráveis são o #1 e o #2, num total de seis)

Como Ora

P(OO)=P(O)P(O/O) (*)

em que a probabilidade pedida é

 P(O/O)

(a probabilidade da segunda moeda ser de ouro, sabendo-se que a primeira também o é).

Substituindo os valores numéricos em (*), tem-se

\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}P(O/O)

donde

P(O/O)= \dfrac{2}{3}. »

 

Nota: na notação usada em cima, a caixa só com moedas de ouro tem as moedas O_1 e O_2; na que tem uma de ouro e uma de prata, as moedas são a O e P; e na que tem as duas de prata, são a P_1 e a P_2.

(*) P(O/O) é uma probabilidade condicionada (Wikipédia); P(OO) é um exemplo de probabilidade de um acontecimento composto; e P(O), de um acontecimento elementar.

(**) Kentaro Mori

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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6 respostas a Probabilidade condicionada com moedas

  1. Ricardo Joris diz:

    O campo da probabilidade é talvez o que mais oferece munição para os enganos das avaliações humanas.

    Um grande mico real dos especialistas em probabilidade pode ser aqui encontrado:

    http://gatosepapos.blogspot.com/2011/03/mulher-cabeca.html

  2. Vânia Bruno diz:

    Boa noite. Estou, ainda numa fase muito inicial, a “retomar” o estudo das probabilidades que abandonei há anos, e venho pedir a validação do seguinte raciocínio para este problema (vou misturar texto com notação descuidada, peço desculpa):
    Temos: Caixa 1 (Ouro,Ouro); Caixa 2 (Ouro,Prata); Caixa 3 (Prata,Prata)
    Uma vez que existe apenas uma caixa com 2 moedas de ouro (caixa 1), o cálculo não pode ser feito considerando a probabilidade de ter escolhido a Caixa 1 dado ter retirado a 1ª moeda de ouro? P(Caixa 1| Moeda Ouro) =?
    Ora temos então P(Moeda Ouro | Caixa 1) * P(Caixa 1) / P (Moeda Ouro), ou seja:
    (1)*(1/3)/(1/2) = 2/3
    Pergunta: este raciocínio está correcto? Se não, onde está o erro? Obrigada!

  3. Vânia Bruno diz:

    Boa noite e muito obrigada! :)

    As probabilidades sempre foram o meu calcanhar de Aquiles, normalmente por questões relacionadas a intuição (aliada ao carácter matreiro das ditas), e pretendo que deixem de o ser muito em breve. Neste processo, considero o raciocínio e a validação do mesmo extremamente importantes, até porque os fins (resultado obtido) não justificam os meios (respectivo raciocínio), especialmente se estes últimos estiverem completamente errados!…

    Aproveito para deixar os parabéns pelo excelente blog!

    • Fica aqui uma transcrição de “São os Matemáticos Puros particularmente pouco aptos para o Cálculo das Probabilidades?” do meu Professor de Física António Brotas, Departamento de Física, Instituto Superior Técnico, Lisboa, in Gazeta de Matemática Nº140 de 2001-01, p.18–21 online

      «Peço para o título deste artigo não ser considerado uma falta de respeito. Várias vezes na vida fui professor de Matemática, quase sempre em Escolas de Engenharia ou equivalentes, e ensinei Cálculo das Probabilidades (por exemplo, na cadeira de Métodos Estatísticos do 2.º ano, no Instituto Superior Técnico, em 1972-73), mas sempre me considerei um não matemático, no sentido de não ser um investigador em Matemática. A tribo dos Matemáticos puros é uma tribo a que não perteno. Os seus elementos têm um modo de pensar (sobretudo de descobrir novos terrenos no seu universo abstracto e de fazer demonstrações) que me escapa, respeito e admiro muito ( e invejo um bocado).

      Este título pode ser olhado como uma provocação – para provocar réplicas e comentários – mas não é uma provocação gratuita e sem fundamento. As informações surpreendentes que me levam a fazer a pergunta encontram-se no capítulo 6 intitulado ‘Ficar com a cabra’ do muito interessante livro: ‘O homem que só gostava de números, de Paul Hoffman, premiado com o Rhône-Poulenc Prize 1999 para o melhor livro de ciência (suponho que de divulgação científica), recentemente editado em português pela Gradiva.

      Digo, desde já, de que se trata.

      O livro é, no essencial, uma biografia de Paul Erdös, que viveu de 1916 a 1996, e terás sido o matemático que mais textos publicou depois de Gauss e Euler. No entanto, este matemático, um dos maiores e mais influentes do século, perante um mero problema de Cálculo das Probabilidades sugerido no decorrer de um concurso televisivo, errou, teve a maior dificuldade em reconhecer o erro (só se convenceu diante de uma simulação em computador), e continuou a considerar que faltava ainda uma verdadeira demonstração do resultado.

      O espantoso é que muitos matemáticos, alguns proeminentes, o acompanharam nestas dificuldades à volta de um problema que considero acessível aos meus antigos alunos de Métodos Estaísticos (talvez algum leia este texto).»

  4. Augusto Seixas Neto diz:

    B.nt professor, sou estudante da Universidade Pedagogica-Manica(Mocambique), tenho lido com muito gosto os seus trabalhos.Parabens! No entanto tenho questao: uma urna | tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna || tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e, dela é escolhida uma bola, tambem ao acaso. Se a bola observada for vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna |?

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