Período da dízima que representa 629/9801

Neste comentário o leitor Ronaebson perguntou-me:

Quantas algarismos possui o período da dízima

(0,171717\ldots)\times (0,373737\dots )\quad ?
 

Resposta: o número de dígitos do período da dízima é igual a 396.

Obtive-o no software PARI/GP:

0, ( 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 8 3 1 8 5 3 8 9 2 4 5 9 9 5 3 0 6 6 0 1 3 6 7  2 0 7 4 2 7 8 1 3 4 8 8 4 1 9 5 4 9 0 2 5 6 0 9 6 3 1 6 7 0 2 3 7 7 3 0 8 4 3 7 9 1 4 4 9 8 5 2 0 5 5 9 1 2 6 6 1 9 7 3 2 6 8 0 3 3 8 7 4 0 9 4 4 8 0 1 5 5 0 8 6 2 1 5 6 9 2 2 7 6 2 9 8 3 3 6 9 0 4 3 9 7 5 1 0 4 5 8 1 1 6 5 1 8 7 2 2 5 7 9 3 2 8 6 3 9 9 3 4 7 0 0 5 4 0 7 6 1 1 4 6 8 2 1 7 5 2 8 8 2 3 5 8 9 4 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 8 3 1 8 5 3 8 9 2 4 5 9 9 5 3 0 6 6 0 1 3 6 7 2 0 7 4 2 7 8 1 3 4 8 8 4 1 9 5 4 9 0 2 5 6 0 9 6 3 1 6 7 0 2 3 7 7 3 0 8 4 3 7 9 1 4 4 9 8 5 2 0 5 5 9 1 2 6 6 1 97 3 2 6 8 0 3 3 8 7 4 0 9 4 4 8 0 1 5 5 0 8 6 2 1 5 6 9 2 2 7 6 2 9 8 3 3 6 9 0 4 3 9 7 5 1 0 4 5 8 1 1 6 5 1 8 7 2 2 5 7 9 3 2 8 6 3 9 9 3 4 7 0 0 5 4 0 7 6 1 1 4 6 8 2 1 7 5 2 8 8 2 3 5 8 9 4 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1)

ou, de forma menos precisa, mas talvez mais sugestiva:

0, 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 . . . 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1′ 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 . . . 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1′ 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 . . . 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1′ . . .

Contei o número de dígitos:

\overset{396\text{ d\'{\i}gitos}}{\overbrace{0641771247...2965003571}} 

Represento por a=0,171717\dots e b=0,373737\dots os dois factores, que se podem exprimir nas fracções:

a=\dfrac{17}{10^2-1}=\dfrac{17}{99}

e

b=\dfrac{37}{10^2-1}=\dfrac{37}{99}

O produto

ab=\dfrac{17}{99}\times\dfrac{37}{99}=\dfrac{629}{9801}

é igual a

\dfrac{N}{10^{p}-1}

em que N é o inteiro

N=629\dfrac{10^{396}-1}{9801}

e p=396 o período da dízima, ou seja:

\dfrac{629}{9801}=\dfrac{N}{10^{p}-1}=\dfrac{629\dfrac{10^{396}-1}{9801}}{10^{396}-1}=\dfrac{6417 71247\ldots 2965003571}{10^{396}-1}

sendo

 \dfrac{10^{396}-1}{9801}

um número inteiro.

Problema em aberto: provar teoricamente que 396 é o menor valor de p  tal que p,N\in\mathbb{N} e

\dfrac{N}{10^p-1}=\dfrac{629}{9801}.

[Editado: acrescentados pormenores e feitas alterações diversas, incluindo o título]. 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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