Problema do mês :: Problem of the month #4. (Integral impróprio :: Improper integral). Resolução :: Solution

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Problema

Prove ou infirme: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx

Solução de Prof. Paulo Sérgio

Para calcular esta integral, note que

\dfrac{1}{s^{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx

Assim,

I:=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) }{s^{2}}ds

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}\left[ \cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) \right] dxds

Invertendo a ordem de integração e usando a definição de transformada de Laplace, temos:

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\int_{0}^{\infty }\left[ \mathcal{L}\left\{ \cos\left( s\right) \right\} -\mathcal{L}\left\{ \cos \left( 3s\right) \right\}\right] dx

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\left( \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}\right) dx

ou seja,

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{9}{9+x^{2}}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\left[ 3\arctan \left( \dfrac{x}{3}\right) -\arctan \left( x\right) \right] _{0}^{\infty }

=\dfrac{3\pi }{2}-\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{2\pi }{2}=\pi .

Outra resolução: fatima

* * *

Problem

Prove or disprove: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx.

 

Solution by Prof. Paulo Sérgio

To evaluate this integral note that

\dfrac{1}{s^{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx

Hence,

I:=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) }{s^{2}}ds

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}\left[ \cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) \right] dxds

By reversing the order of integration and using the definition of the Laplace transform we get:

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\int_{0}^{\infty }\left[ \mathcal{L}\left\{ \cos\left( s\right) \right\} -\mathcal{L}\left\{ \cos \left( 3s\right) \right\}\right] dx

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\left( \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}\right) dx

therefore,

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{9}{9+x^{2}}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\left[ 3\arctan \left( \dfrac{x}{3}\right) -\arctan \left( x\right) \right] _{0}^{\infty }

=\dfrac{3\pi }{2}-\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{2\pi }{2}=\pi .

Other Solver: fatima

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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