Enunciado do Desafio/Challenge Statement
Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?
E o termo de ordem ? / And its
term?
Adenda/Addendum
Nota: os termos são fracções reduzidas.
Remark: every term of the sequence is a fraction in its lowest terms.
Solução/Solution
O termo geral da sucessão é/The sequence general term is:
mas expresso como fracção reduzida [gcd (greatest common divisor) é o m.d.c. ou mdc (máximo divisor comum)]/but written as a fraction in its lowest terms
Em PARI/GP obtém-se com/With this line of code in PARI/GP
for(n=1,20,print(n ” : ” ((n-1)!/(2^(n+1)))))
isto / we get
1 : 1/4
2 : 1/8
3 : 1/8
4 : 3/16
5 : 3/8
6 : 15/16
7 : 45/16
8 : 315/32
9 : 315/8
10 : 2835/16
11 : 14175/16
12 : 155925/32
13 : 467775/16
14 : 6081075/32
15 : 42567525/32
16 : 638512875/64
17 : 638512875/8
18 : 10854718875/16
19 : 97692469875/16
20 : 1856156927625/32
Assim o sexto é/Hence the 6th term is
e o vigésimo/and the 20th,
.
O leitor d3r4z descobriu o 6.º temo aqui / The reader d3r4z found the 6th term here
— 24.03.10 — acrescentado / added
Eu nao sabia o que era fração reduzida e cheguei à função f(x)=(x^4 – 12x^3 +59x^2 – 132x + 132)/ 192 …
Os resultados coincidem com os cinco primeiros termos mencionados no enunciado. Já o sexto não.
Se você chegar a ler esse comentario e quiser conferir, pode usar o site http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi …
Obrigado pelos seus dois recentes comentários!
Esta interpretação, na forma de fracção racional, mostra que o enunciado não tem uma única solução, como escrevi num comentário onde divulguei na altura este “desafio”. A minha foi apenas uma, esta é claramente outra. Vamos ver se alguém fornece outra(s).
Confirmação:
Este método faz-me lembrar um outro: o de determinar dois polinómios do 4.º grau que tomem os valores dos numeradores e dos denominadores.
O do numerador será
em que
e o do denominador,
com
achei super legal