Solução do Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Solution to the Challenge: Find the general term of a sequence

Enunciado do Desafio/Challenge Statement

Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?

\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{16},\dfrac{3}{8},\dots

E o termo de ordem 20? / And its 20^{\text{th }}  term?

Adenda/Addendum

Nota: os termos são fracções reduzidas.

Remark: every term of the sequence is a  fraction in its lowest terms.

    Solução/Solution

O termo geral da sucessão é/The sequence general term is:

   \dfrac{(n-1)!}{2^{n+1}}

mas expresso como fracção reduzida  [gcd (greatest common divisoré o m.d.c. ou mdc  (máximo divisor comum)]/but written as a  fraction in its lowest terms 

  \dfrac{((n-1)!)/\gcd ((n-1)!,2^{n+1})}{2^{n+1}/\gcd ((n-1)!,2^{n+1})}\qquad (*)

 

 

Em PARI/GP obtém-se com/With this line of code in PARI/GP


        for(n=1,20,print(n ” : ” ((n-1)!/(2^(n+1)))))

isto / we get

    1 : 1/4
    2 : 1/8
    3 : 1/8
    4 : 3/16
    5 : 3/8
    6 : 15/16
    7 : 45/16
    8 : 315/32
    9 : 315/8
    10 : 2835/16
    11 : 14175/16
    12 : 155925/32
    13 : 467775/16
    14 : 6081075/32
    15 : 42567525/32
    16 : 638512875/64
    17 : 638512875/8
    18 : 10854718875/16
    19 : 97692469875/16
    20 : 1856156927625/32
   
   

Assim o sexto é/Hence the 6th term is

\dfrac{15}{16}

 e o vigésimo/and the 20th,

\dfrac{1856156927625}{32}.

   
O leitor d3r4z descobriu o 6.º temo aqui / The reader d3r4z found the 6th term here

(\ast ) — 24.03.10 —  acrescentado / added

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Computação, Enigmas, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-Secundário, Math, PARI, Programação, Sucessões com as etiquetas , , , , , , , . ligação permanente.

4 respostas a Solução do Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Solution to the Challenge: Find the general term of a sequence

  1. Paulo diz:

    Eu nao sabia o que era fração reduzida e cheguei à função f(x)=(x^4 – 12x^3 +59x^2 – 132x + 132)/ 192 …
    Os resultados coincidem com os cinco primeiros termos mencionados no enunciado. Já o sexto não.
    Se você chegar a ler esse comentario e quiser conferir, pode usar o site http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi

    • Obrigado pelos seus dois recentes comentários!

      Esta interpretação, na forma de fracção racional, mostra que o enunciado não tem uma única solução, como escrevi num comentário onde divulguei na altura este “desafio”. A minha foi apenas uma, esta é claramente outra. Vamos ver se alguém fornece outra(s).

      Confirmação:

      f(x)=\dfrac{x^{4}-12x^{3}+59x^{2}-132x+132}{192}

      f(1)=\dfrac{1}{4}

      f(2)=\dfrac{1}{8}

      f(3)=\dfrac{1}{8}

      f(4)=\dfrac{3}{16}

      f(5)=\dfrac{3}{8}

      f(6)=\dfrac{7}{8}

      f(20)=\dfrac{7091}{16}.

    • Este método faz-me lembrar um outro: o de determinar dois polinómios do 4.º grau que tomem os valores dos numeradores e dos denominadores.

      O do numerador será

      N(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4

      em que

      N(1)=N(2)=N(3)=1

      N(4)=N(5)=3

      e o do denominador,

      D(x)=b_0x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4

      com

      D(1)=4

      D(2)=D(3)=D(5)=8

      D(4)=16.

  2. minoca neves diz:

    achei super legal

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