Relação de recorrência, recursiva ou equação às diferenças associada ao logaritmo de dois (ln 2)

As relações de recorrência associadas a \ln 2 são:

\left( n+1\right) b_{n+1}-3\left( 2n+1\right) b_{n}+nb_{n-1}=0\qquad n\geq 1\qquad \left( 1\right)

e

\left( n+1\right) a_{n+1}-3\left( 2n+1\right) a_{n}+na_{n-1}=0\qquad n\geq 1\qquad \left( 2\right)

em que, a_{0}=1,a_{1}=3 e b_{0}=0,b_{1}=2, podendo demonstrar-se  [1, secção 3] que

\dfrac{b_{n}}{a_{n}}\rightarrow \ln 2\qquad \left( 3\right) .

A fórmula explícita da sucessão \left( a_{n}\right) , — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por:

a_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}\qquad \left( 4\right)

pelo que

a_{n+1}=\dbinom{2n+2}{n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}

e

a_{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}

Vamos mostrar que \left( 4\right) verifica \left( 2\right) .

Escrevendo

B_{n,k}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}

será

B_{n,k-1}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}

Assim

B_{n,k}-B_{n,k-1}=

 

=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}

 

Substituindo agora a_{n+1},a_{n} e a_{n-1} na relação de recorrência, vem

\left( n+1\right) \left[ \dbinom{2n+2}{n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}\right]

 

-3\left( 2n+1\right) \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}=0

donde

-\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=

 

=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[ \left( n+1\right) \dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}-3\left( 2n+1\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}\right] +\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[n\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}\right]

 

=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[ -\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}\right]

 

=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}B_{n,k}-B_{n,k-1}

que é uma soma telescópica em k. Prosseguindo, tem-se

-\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=B_{n,n}-B_{n,-1}=B_{n,n}

porque B_{n,-1}=0. Mas

B_{n,n}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{2n}{n}

pelo que basta verificar que

\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=\left( 4n+2\right) \dbinom{2n}{n}

é  uma identidade, o que deixo ao cuidado dos meus leitores.

__________

[1] Eric Reyssat, Irrationalité de \zeta (3) selon Apéry, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres) 20e année, 1978/79, nº 6, 6 p.

P.S: retirei uma igualdade desnecessária para esta demonstração e acrescentei [1].

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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