## Relação de recorrência, recursiva ou equação às diferenças associada ao logaritmo de dois (ln 2)

As relações de recorrência associadas a $\ln 2$ são:

$\left( n+1\right) b_{n+1}-3\left( 2n+1\right) b_{n}+nb_{n-1}=0\qquad n\geq 1\qquad \left( 1\right)$

e

$\left( n+1\right) a_{n+1}-3\left( 2n+1\right) a_{n}+na_{n-1}=0\qquad n\geq 1\qquad \left( 2\right)$

em que, $a_{0}=1,a_{1}=3$ e $b_{0}=0,b_{1}=2$, podendo demonstrar-se  [1, secção 3] que

$\dfrac{b_{n}}{a_{n}}\rightarrow \ln 2\qquad \left( 3\right)$.

A fórmula explícita da sucessão $\left( a_{n}\right)$, — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por:

$a_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}\qquad \left( 4\right)$

pelo que

$a_{n+1}=\dbinom{2n+2}{n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}$

e

$a_{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}$

Vamos mostrar que $\left( 4\right)$ verifica $\left( 2\right)$.

Escrevendo

$B_{n,k}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}$

será

$B_{n,k-1}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}$

Assim

$B_{n,k}-B_{n,k-1}=$

$=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}$

Substituindo agora $a_{n+1},a_{n}$ e $a_{n-1}$ na relação de recorrência, vem

$\left( n+1\right) \left[ \dbinom{2n+2}{n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}\right]$

$-3\left( 2n+1\right) \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}=0$

donde

$-\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[ \left( n+1\right) \dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}-3\left( 2n+1\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}\right]$ $+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[n\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}\right]$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[ -\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}\right]$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}B_{n,k}-B_{n,k-1}$

que é uma soma telescópica em $k$. Prosseguindo, tem-se

$-\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=B_{n,n}-B_{n,-1}=B_{n,n}$

porque $B_{n,-1}=0$. Mas

$B_{n,n}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{2n}{n}$

pelo que basta verificar que

$\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=\left( 4n+2\right) \dbinom{2n}{n}$

__________

[1] Eric Reyssat, Irrationalité de $\zeta (3)$ selon Apéry, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres) 20e année, 1978/79, nº 6, 6 p.

P.S: retirei uma igualdade desnecessária para esta demonstração e acrescentei [1].

## Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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