As relações de recorrência associadas a são:
e
em que, e
, podendo demonstrar-se [1, secção 3] que
.
A fórmula explícita da sucessão , — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por:
pelo que
e
Vamos mostrar que verifica
.
Escrevendo
será
Assim
Substituindo agora e
na relação de recorrência, vem
donde
que é uma soma telescópica em . Prosseguindo, tem-se
porque . Mas
pelo que basta verificar que
é uma identidade, o que deixo ao cuidado dos meus leitores.
__________
[1] Eric Reyssat, Irrationalité de selon Apéry, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres) 20e année, 1978/79, nº 6, 6 p.
P.S: retirei uma igualdade desnecessária para esta demonstração e acrescentei [1].
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